Publicitate pe portal

Scăderea adunării cu rădăcini. Înapoi la școală. Adăugarea de rădăcini. Intrând sub semnul rădăcinii

Tema rădăcinilor pătrate este obligatorie în programa școlară de matematică. Nu puteți face fără ele când rezolvați ecuații patratice. Și mai târziu devine necesar nu numai să extrageți rădăcinile, ci și să efectuați alte acțiuni cu ele. Printre acestea sunt destul de complexe: exponentiația, înmulțirea și împărțirea. Dar există și unele destul de simple: scăderea și adunarea rădăcinilor. Apropo, așa par doar la prima vedere. Efectuarea lor fără erori nu este întotdeauna ușor pentru cineva care abia începe să se familiarizeze cu ele.

Ce este o rădăcină matematică?

Această acțiune a apărut în opoziție cu exponențiarea. Matematica sugerează două operații opuse. Există scădere pentru adunare. Înmulțirea se opune împărțirii. Acțiunea inversă a unui grad este extragerea rădăcinii corespunzătoare.

Dacă gradul este doi, atunci rădăcina va fi pătrată. Este cea mai comună în matematica școlară. Nici măcar nu are o indicație că este pătrat, adică numărul 2 nu este atribuit lângă el. Notația matematică a acestui operator (radical) este prezentată în figură.

Definiția sa decurge fără probleme din acțiunea descrisă. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr, trebuie să aflați ce va da expresia radicală atunci când este înmulțită cu ea însăși. Acest număr va fi rădăcina pătrată. Dacă scriem asta matematic, obținem următoarele: x*x=x 2 =y, ceea ce înseamnă √y=x.

Ce acțiuni poți face cu ei?

În esență, o rădăcină este o putere fracționară cu unu la numărător. Iar numitorul poate fi orice. De exemplu, rădăcina pătrată are două. Prin urmare, toate acțiunile care pot fi efectuate cu puteri vor fi valabile și pentru rădăcini.

Și cerințele pentru aceste acțiuni sunt aceleași. Dacă înmulțirea, împărțirea și exponentiația nu întâmpină dificultăți pentru elevi, atunci adăugarea rădăcinilor, precum scăderea lor, duce uneori la confuzie. Și totul pentru că vreau să fac aceste operații fără a ține cont de semnul rădăcinii. Și de aici încep greșelile.

Care sunt regulile de adunare și scădere?

Mai întâi trebuie să vă amintiți două „nu” categorice:

  • este imposibil să efectuați adunarea și scăderea rădăcinilor, ca în cazul numerelor prime, adică este imposibil să scrieți expresii radicale ale sumei sub un singur semn și să efectuați operații matematice cu acestea;
  • Nu puteți adăuga și scădea rădăcini cu exponenți diferiți, de exemplu pătrat și cubic.

Un exemplu clar al primei interdicții: √6 + √10 ≠ √16, dar √(6 + 10) = √16.

În al doilea caz, este mai bine să ne limităm la simplificarea rădăcinilor în sine. Și lăsați suma lor în răspuns.

Acum la reguli

  1. Găsiți și grupați rădăcini similare. Adică cei care nu numai că au aceleași numere sub radical, dar ei înșiși au același indicator.
  2. Efectuați adăugarea rădăcinilor combinate într-un singur grup în prima acțiune. Este ușor de implementat pentru că trebuie doar să adaugi valorile care apar în fața radicalilor.
  3. Extrageți rădăcinile acelor termeni în care expresia radicală formează un întreg pătrat. Cu alte cuvinte, nu lăsa nimic sub semnul unui radical.
  4. Simplificați expresiile radicale. Pentru a face acest lucru, trebuie să le factorizați în factori primi și să vedeți dacă dau pătratul unui număr. Este clar că acest lucru este adevărat atunci când vorbim despre rădăcina pătrată. Când exponentul este trei sau patru, atunci factorii primi trebuie să dea cubul sau puterea a patra a numărului.
  5. Scoateți de sub semnul radicalului factorul care dă întreaga putere.
  6. Vedeți dacă termeni similari apar din nou. Dacă da, atunci efectuați din nou al doilea pas.

Într-o situație în care sarcina nu necesită valoarea exactă a rădăcinii, aceasta poate fi calculată folosind un calculator. Rotunjiți fracția zecimală nesfârșită care apare în fereastra sa. Cel mai adesea acest lucru se face la sutimi. Și apoi efectuați toate operațiile pentru fracțiile zecimale.

Acestea sunt toate informațiile despre cum să adăugați rădăcini. Exemplele de mai jos vor ilustra cele de mai sus.

Prima sarcină

Calculați valoarea expresiilor:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Dacă urmați algoritmul de mai sus, puteți vedea că nu există nimic pentru primele două acțiuni din acest exemplu. Dar puteți simplifica unele expresii radicale.

De exemplu, descompuneți 32 în doi factori 2 și 16; 18 va fi egal cu produsul dintre 9 și 2; 128 este 2 peste 64. Având în vedere acest lucru, expresia se va scrie astfel:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Acum trebuie să eliminați de sub semnul radical acei factori care dau pătratul numărului. Acesta este 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Expresia va lua forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Trebuie să simplificăm puțin înregistrarea. Pentru a face acest lucru, înmulțiți coeficienții înainte de semnele rădăcinii:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

În această expresie, toți termenii s-au dovedit a fi similari. Prin urmare, trebuie doar să le pliați. Răspunsul va fi: 5√2.

b) Similar cu exemplul anterior, adăugarea rădăcinilor începe cu simplificarea lor. Expresiile radicale 75, 147, 48 și 300 vor fi reprezentate în următoarele perechi: 5 și 25, 3 și 49, 3 și 16, 3 și 100. Fiecare dintre ele conține un număr care poate fi scos de sub semnul rădăcinii. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

După simplificare, răspunsul este: 5√5 - 5√3. Poate fi lăsat în această formă, dar este mai bine să scoateți din paranteze factorul comun 5: 5 (√5 - √3).

c) Și din nou factorizarea: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. După eliminarea factorilor de sub semnul rădăcinii, avem:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. După ce aducem termeni similari obținem rezultatul: 7√11.

Exemplu cu expresii fracționale

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Va trebui să factorizați următoarele numere: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Similar celor discutate deja, trebuie să eliminați factorii de sub semnul rădăcinii. și simplificați expresia:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Această expresie necesită a scăpa de iraționalitatea din numitor. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți al doilea termen cu √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pentru a finaliza acțiunile, trebuie să selectați întreaga parte a factorilor din fața rădăcinilor. Pentru primul este 1, pentru al doilea este 2.

Teorie

Adunarea și scăderea rădăcinilor este studiată într-un curs introductiv de matematică. Presupunem că cititorul cunoaște conceptul de grad.

Definiția 1

Rădăcina $n$ a unui număr real $a$ este un număr real $b$ a cărui $n$-a putere este egală cu $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Aici $ a$ - expresie radicală, $n$ - exponent rădăcină, $b$ - valoare rădăcină. Semnul rădăcinii se numește radical.

Inversul extracției rădăcinii este exponențiația.

Operații de bază cu rădăcini aritmetice:

Figura 1. Operații de bază cu rădăcini aritmetice. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

După cum putem vedea, în acțiunile enumerate nu există o formulă pentru adunare și scădere. Aceste acțiuni cu rădăcini se desfășoară sub formă de transformări. Pentru aceste transformări, ar trebui să utilizați formule de înmulțire abreviate:

    $(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

    $(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

    $(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

    $a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

    $a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

Este de remarcat faptul că acțiunile de adunare și scădere apar în exemple de expresii iraționale: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

Exemple

Să ne uităm la exemple de cazuri în care este aplicabilă „distrugerea” iraționalității în numitor. Când, în urma transformărilor, apare o expresie irațională atât la numărător, cât și la numitor, atunci este necesar să „distrugem” iraționalitatea din numitor.

Exemplul 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6 )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

În acest exemplu, am înmulțit numărătorul și numitorul fracției cu conjugatul numitorului. Astfel, numitorul este transformat folosind formula diferenței de pătrate.

Rădăcina pătrată a unui număr x este un număr a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Ca și în cazul oricărui număr, puteți efectua operații aritmetice de adunare și scădere cu rădăcini pătrate.

Instrucțiuni

1. În primul rând, atunci când adăugați rădăcini pătrate, încercați să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru va fi acceptabil dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. Să presupunem că expresia dată este ?4 + ?9. Primul număr 4 este pătratul numărului 2. Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3. Astfel, rezultă că: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Dacă nu există pătrate complete sub semnul rădăcinii, atunci încercați să mutați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. Să spunem, să presupunem că este dată expresia?24 +?54. Factorizați numerele: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Numărul 24 are un factor de 4, cel care poate fi transferat de sub semnul rădăcinii pătrate. În numărul 54 există un factor de 9. Astfel, rezultă că: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. În acest exemplu, ca urmare a eliminării multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, a fost posibilă simplificarea expresiei date.

3. Fie suma a 2 rădăcini pătrate să fie numitorul unei fracții, să spunem A / (?a + ?b). Și lasă ca sarcina ta să fie „să scapi de iraționalitatea din numitor”. Apoi puteți utiliza următoarea metodă. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia ?a – ?b. Astfel, numitorul va conține formula de înmulțire prescurtată: (?a + ?b) * (?a – ?b) = a – b. Prin analogie, dacă numitorul conține diferența dintre rădăcini: ?a – ?b, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia ?a + ?b. De exemplu, fie fracția 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 – ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 – ?5)) = 4 * (?3 – ?5) / (-2) = 2 * (?5 – ?3).

4. Luați în considerare un exemplu mai complex de a scăpa de iraționalitate în numitor. Să fie dată fracția 12 / (?2 + ?3 + ?5). Trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia?2 + ?3 – ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 – ?5)) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 – ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 – ?30.

5. Și, în sfârșit, dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, puteți calcula rădăcinile pătrate folosind un calculator. Calculați separat valorile pentru întregul număr și notați-l cu precizia necesară (să zicem, două zecimale). Și după aceea, efectuați operațiile aritmetice necesare, ca în cazul numerelor obișnuite. Să presupunem, să presupunem că trebuie să aflați valoarea aproximativă a expresiei ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video pe tema

Notă!
În niciun caz nu pot fi adăugate rădăcini pătrate ca numere primitive, adică. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Sfaturi utile
Dacă factorizați un număr pentru a muta pătratul de sub semnul rădăcinii, atunci efectuați verificarea inversă - înmulțiți toți factorii rezultați și obțineți numărul inițial.

Salutări, pisici! Ultima dată am discutat în detaliu ce sunt rădăcinile (dacă nu vă amintiți, vă recomand să o citiți). Principala concluzie din acea lecție: există o singură definiție universală a rădăcinilor, care este ceea ce trebuie să știți. Restul sunt o prostie și o pierdere de timp.

Astăzi mergem mai departe. Vom învăța să înmulțim rădăcini, vom studia câteva probleme asociate înmulțirii (dacă aceste probleme nu sunt rezolvate, pot deveni fatale la examen) și vom exersa corespunzător. Așa că aprovizionați cu floricele de porumb, puneți-vă confortabil și să începem :)

Nici tu nu l-ai fumat încă, nu-i așa?

Lecția s-a dovedit a fi destul de lungă, așa că am împărțit-o în două părți:

  1. Mai întâi ne vom uita la regulile înmulțirii. Cap pare să sugereze: atunci există două rădăcini, între ele există un semn „multiplicare” - și vrem să facem ceva cu el.
  2. Atunci să ne uităm la situația opusă: există o rădăcină mare, dar am fost dornici să o reprezentăm ca un produs al a două rădăcini mai simple. De ce este necesar acest lucru, este o întrebare separată. Vom analiza doar algoritmul.

Pentru cei care abia așteaptă să treacă imediat la a doua parte, sunteți bineveniți. Să începem cu restul în ordine.

Regula de bază a înmulțirii

Să începem cu cel mai simplu lucru - rădăcinile pătrate clasice. Aceleași care sunt notate cu $\sqrt(a)$ și $\sqrt(b)$. Totul este evident pentru ei:

Regula înmulțirii. Pentru a înmulți o rădăcină pătrată cu alta, pur și simplu înmulți expresiile radicale ale acestora și scrieți rezultatul sub radicalul comun:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nu se impun restricții suplimentare numerelor din dreapta sau din stânga: dacă există factori rădăcină, atunci există și produsul.

Exemple. Să ne uităm la patru exemple cu numere simultan:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, sensul principal al acestei reguli este de a simplifica expresiile iraționale. Și dacă în primul exemplu am fi extras noi înșine rădăcinile lui 25 și 4 fără alte reguli noi, atunci lucrurile devin grele: $\sqrt(32)$ și $\sqrt(2)$ nu sunt considerate de la sine, dar produsul lor se dovedește a fi un pătrat perfect, deci rădăcina lui este egală cu un număr rațional.

Aș dori mai ales să evidențiez ultima linie. Acolo, ambele expresii radicale sunt fracții. Datorită produsului, mulți factori sunt anulați, iar întreaga expresie se transformă într-un număr adecvat.

Desigur, lucrurile nu vor fi întotdeauna atât de frumoase. Uneori va exista o mizerie completă sub rădăcini - nu este clar ce să faci cu ea și cum să o transformi după înmulțire. Puțin mai târziu, când începi să studiezi ecuațiile și inegalitățile iraționale, vor exista tot felul de variabile și funcții. Și de foarte multe ori, scriitorii de probleme contează pe faptul că vei descoperi niște termeni sau factori de anulare, după care problema se va simplifica de mai multe ori.

În plus, nu este deloc necesar să înmulțim exact două rădăcini. Puteți înmulți trei, patru sau chiar zece deodată! Acest lucru nu va schimba regula. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Și din nou o mică notă despre al doilea exemplu. După cum puteți vedea, în al treilea factor de sub rădăcină există o fracție zecimală - în procesul de calcule o înlocuim cu una obișnuită, după care totul este ușor de redus. Deci: vă recomand cu căldură să scăpați de fracțiile zecimale din orice expresii iraționale (adică care conțin cel puțin un simbol radical). Acest lucru vă va economisi mult timp și nervi în viitor.

Dar aceasta a fost o digresiune lirică. Acum să luăm în considerare un caz mai general - când exponentul rădăcină conține un număr arbitrar $n$, și nu doar cei doi „clasici”.

Cazul unui indicator arbitrar

Deci, am aranjat rădăcinile pătrate. Ce să faci cu cele cubice? Sau chiar cu rădăcini de grad arbitrar $n$? Da, totul este la fel. Regula rămâne aceeași:

Pentru a înmulți două rădăcini de grad $n$, este suficient să înmulțiți expresiile lor radicale și apoi să scrieți rezultatul sub un radical.

In general, nimic complicat. Cu excepția faptului că cantitatea de calcule poate fi mai mare. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemple. Calculați produsele:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Și din nou, atenție la a doua expresie. Înmulțim rădăcinile cubice, scăpăm de fracția zecimală și ajungem ca numitorul să fie produsul numerelor 625 și 25. Acesta este un număr destul de mare - personal, personal nu pot să-mi dau seama cu ce este egal din partea de sus a capului meu.

Prin urmare, pur și simplu am izolat cubul exact în numărător și numitor și apoi am folosit una dintre proprietățile cheie (sau, dacă preferați, definiția) ale rădăcinii $n$-a:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dreapta|. \\ \end(align)\]

Astfel de „prelucrări” vă pot economisi mult timp la un examen sau test, așa că rețineți:

Nu te grăbi să înmulți numerele folosind expresii radicale. În primul rând, verificați: ce se întâmplă dacă gradul exact al oricărei expresii este „criptat” acolo?

În ciuda faptului că această remarcă este evidentă, trebuie să recunosc că cei mai mulți studenți nepregătiți nu văd gradele exacte la limită. În schimb, ei înmulțesc totul, apoi se întreabă: de ce au primit numere atât de brutale?

Totuși, toate acestea sunt vorbe de bebeluși în comparație cu ceea ce vom studia acum.

Înmulțirea rădăcinilor cu exponenți diferiți

Bine, acum putem înmulți rădăcinile cu aceiași indicatori. Ce se întâmplă dacă indicatorii sunt diferiți? Să spunem, cum să înmulțim un $\sqrt(2)$ obișnuit cu niște prostii ca $\sqrt(23)$? Este chiar posibil să faci asta?

Da, sigur că poți. Totul se face după această formulă:

Regula pentru înmulțirea rădăcinilor. Pentru a înmulți $\sqrt[n](a)$ cu $\sqrt[p](b)$, este suficient să efectuați următoarea transformare:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cu toate acestea, această formulă funcționează numai dacă expresiile radicale sunt nenegative. Aceasta este o notă foarte importantă la care vom reveni puțin mai târziu.

Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, nimic complicat. Acum să ne dăm seama de unde a venit cerința de non-negativitate și ce se va întâmpla dacă o încălcăm.


Înmulțirea rădăcinilor este ușoară

De ce expresiile radicale trebuie să fie nenegative?

Desigur, puteți fi ca profesorii de școală și puteți cita manualul cu un aspect inteligent:

Cerința de non-negativitate este asociată cu diferite definiții ale rădăcinilor de grade pare și impare (în consecință, domeniile lor de definiție sunt și ele diferite).

Ei bine, a devenit mai clar? Personal, când am citit această prostie în clasa a VIII-a, am înțeles ceva de genul următor: „Cerința de non-negativitate este asociată cu *#&^@(*#@^#)~%” - pe scurt, n-am nu inteleg nimic la ora aia :)

Așa că acum voi explica totul într-un mod normal.

Mai întâi, să aflăm de unde vine formula de înmulțire de mai sus. Pentru a face acest lucru, permiteți-mi să vă reamintesc o proprietate importantă a rădăcinii:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Cu alte cuvinte, putem ridica cu ușurință expresia radicală la orice putere naturală $k$ - în acest caz, exponentul rădăcinii va trebui înmulțit cu aceeași putere. Prin urmare, putem reduce cu ușurință orice rădăcină la un exponent comun și apoi le putem înmulți. De aici provine formula de înmulțire:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Dar există o problemă care limitează drastic utilizarea tuturor acestor formule. Luați în considerare acest număr:

Conform formulei tocmai oferite, putem adăuga orice grad. Să încercăm să adăugăm $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Am eliminat minusul tocmai pentru că pătratul arde minusul (ca orice alt grad par). Acum să efectuăm transformarea inversă: „reducem” cele două în exponent și putere. La urma urmei, orice egalitate poate fi citită atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Dar apoi se dovedește a fi un fel de prostie:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Acest lucru nu se poate întâmpla, deoarece $\sqrt(-5) \lt 0$ și $\sqrt(5) \gt 0$. Aceasta înseamnă că pentru puteri par și numere negative formula noastră nu mai funcționează. După care avem două opțiuni:

  1. Să dai de zid și să afirmi că matematica este o știință stupidă, unde „există niște reguli, dar acestea sunt imprecise”;
  2. Introduceți restricții suplimentare în baza cărora formula va deveni 100% funcțională.

În prima opțiune, va trebui să prindem în mod constant cazurile „nefuncționale” - este dificil, consuma mult timp și, în general, ugh. Prin urmare, matematicienii au preferat a doua opțiune :)

Dar nu-ți face griji! În practică, această limitare nu afectează în niciun fel calculele, deoarece toate problemele descrise privesc doar rădăcini de grad impar, iar minusurile pot fi luate de la acestea.

Prin urmare, să formulăm încă o regulă, care se aplică în general tuturor acțiunilor cu rădăcini:

Înainte de a înmulți rădăcinile, asigurați-vă că expresiile radicale nu sunt negative.

Exemplu. În numărul $\sqrt(-5)$ puteți elimina minusul de sub semnul rădăcină - atunci totul va fi normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Simți diferența? Dacă lăsați un minus sub rădăcină, atunci când expresia radicală este pătrată, va dispărea și va începe prostiile. Și dacă scoți mai întâi minusul, atunci poți pătra/elimina până când devii albastru - numărul va rămâne negativ :)

Astfel, cel mai corect și mai fiabil mod de a înmulți rădăcinile este următorul:

  1. Îndepărtați toate negativele de la radicali. Minusurile există doar în rădăcini de multiplicitate impară - ele pot fi plasate în fața rădăcinii și, dacă este necesar, reduse (de exemplu, dacă există două dintre aceste minusuri).
  2. Efectuați înmulțirea conform regulilor discutate mai sus în lecția de astăzi. Dacă indicatorii rădăcinilor sunt aceiași, pur și simplu înmulțim expresiile radicale. Și dacă sunt diferite, folosim formula rea ​​\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
  3. 3.Bucurați-vă de rezultat și de note bune.:)

Bine? Să exersăm?

Exemplul 1: Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Aceasta este cea mai simplă opțiune: rădăcinile sunt aceleași și ciudate, singura problemă este că al doilea factor este negativ. Scoatem acest minus din imagine, după care totul este ușor de calculat.

Exemplul 2: Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinia)\]

Aici, mulți ar fi confuzi de faptul că rezultatul s-a dovedit a fi un număr irațional. Da, se întâmplă: nu am putut scăpa complet de rădăcină, dar cel puțin am simplificat semnificativ expresia.

Exemplul 3: Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Aș dori să vă atrag atenția asupra acestei sarcini. Există două puncte aici:

  1. Rădăcina nu este un anumit număr sau putere, ci variabila $a$. La prima vedere, acest lucru este puțin neobișnuit, dar, în realitate, atunci când rezolvați probleme matematice, cel mai adesea trebuie să vă ocupați de variabile.
  2. În final, am reușit să „reducem” indicatorul radical și gradul de exprimare radicală. Acest lucru se întâmplă destul de des. Și asta înseamnă că a fost posibil să simplificați semnificativ calculele dacă nu ați folosit formula de bază.

De exemplu, puteți face acest lucru:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

De fapt, toate transformările au fost efectuate numai cu al doilea radical. Și dacă nu descrieți în detaliu toți pașii intermediari, atunci în cele din urmă cantitatea de calcule va fi redusă semnificativ.

De fapt, am întâlnit deja o sarcină similară mai sus când am rezolvat exemplul $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Acum se poate scrie mult mai simplu:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left((((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Ei bine, am rezolvat înmulțirea rădăcinilor. Acum să luăm în considerare operația inversă: ce să faceți când există un produs sub rădăcină?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte. »
Și pentru cei care „foarte mult. ")

În lecția anterioară ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care dintre ele există formule pentru rădăcini ce sunt proprietățile rădăcinilor, și ce se poate face cu toate acestea.

Formulele rădăcinilor, proprietățile rădăcinilor și regulile de lucru cu rădăcinile- acesta este în esență același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce cu siguranță mă face fericit! Sau, mai degrabă, puteți scrie o mulțime de formule diferite, dar pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini, doar trei sunt suficiente. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți oameni se încurcă în cele trei formule de rădăcină, da.

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Permiteți-mi să vă reamintesc (din lecția anterioară): a și b sunt numere nenegative! Altfel formula nu are sens.

Aceasta este o proprietate a rădăcinilor, după cum puteți vedea, este simplu, scurt și inofensiv. Dar există atât de multe lucruri grozave pe care le poți face cu această formulă de rădăcină! Să ne uităm la exemple toate aceste lucruri utile.

Primul lucru util. Această formulă ne permite înmulțiți rădăcinile.

Cum să înmulțim rădăcinile?

Da, foarte simplu. Direct la formula. De exemplu:

S-ar părea că l-au înmulțit, deci ce? Există multă bucurie?! Sunt de acord, puțin. Cum îți place asta exemplu?

Rădăcinile nu sunt extrase tocmai din factori. Iar rezultatul este excelent! E mai bine, nu? Pentru orice eventualitate, permiteți-mi să vă spun că pot exista oricât de mulți multiplicatori doriți. Formula de înmulțire a rădăcinilor încă funcționează. De exemplu:

Deci, cu înmulțirea totul este clar, de ce este necesar acest lucru? proprietatea rădăcinilor- de asemenea de înțeles.

Al doilea lucru este util. Introducerea unui număr sub semnul rădăcină.

Cum se introduce un număr sub rădăcină?

Să presupunem că avem această expresie:

Este posibil să ascundeți deuce în interiorul rădăcinii? Uşor! Dacă faci o rădăcină din doi, formula de înmulțire a rădăcinilor va funcționa. Cum poți face o rădăcină din două? Da, nicio întrebare! Două este rădăcină pătrată de patru!

Apropo, o rădăcină poate fi făcută din orice număr nenegativ! Aceasta va fi rădăcina pătrată a pătratului acestui număr. 3 este rădăcina lui 9. 8 este rădăcina lui 64. 11 este rădăcina lui 121. Ei bine, și așa mai departe.

Desigur, nu este nevoie să descrieți atât de detaliat. Ei bine, pentru început. Este suficient să ne dăm seama că orice număr nenegativ înmulțit cu rădăcină poate fi adăugat sub rădăcină. Dar nu uita! - sub rădăcină acest număr va deveni pătrat tu. Această acțiune - introducerea unui număr sub rădăcină - poate fi numită și înmulțirea numărului cu rădăcină. În termeni generali putem scrie:

Procedura este simplă, după cum puteți vedea. De ce este nevoie?

Ca orice transformare, această procedură ne extinde capacitățile. Oportunități de a transforma o expresie crudă și incomodă într-una moale și pufoasă). Iată unul simplu pentru tine exemplu:

După cum puteți vedea, proprietatea rădăcinilor, care vă permite să introduceți un multiplicator sub semnul rădăcinii, este destul de potrivit pentru simplificare.

În plus, adăugarea unui factor la rădăcină facilitează compararea valorilor diferitelor rădăcini. Fără calcule sau calculator! Al treilea lucru util.

Cum se compară rădăcinile?

Această abilitate este foarte importantă în sarcini serioase, atunci când dezvăluiți module și alte lucruri interesante.

Comparați aceste expresii. Care este mai mare? Fara calculator! Fiecare cu un calculator. uh-uh. Pe scurt, toată lumea o poate face!)

Nu poți spune asta imediat. Ce se întâmplă dacă introduceți numere sub semnul rădăcină?

Să ne amintim (ce dacă nu știai?): dacă numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, atunci rădăcina în sine este mai mare! De aici răspunsul imediat corect, fără calcule și calcule complexe:

Grozav, nu? Dar asta nu este tot! Să ne amintim că toate formulele funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Până acum am folosit formula pentru înmulțirea rădăcinilor de la stânga la dreapta. Să rulăm această proprietate a rădăcinilor în sens invers, de la dreapta la stânga. Ca aceasta:

Și care este diferența? Dă ceva asta? Cu siguranță! Acum vei vedea singur.

Să presupunem că trebuie să extragem (fără un calculator!) rădăcina pătrată a numărului 6561. Unii oameni în această etapă vor cădea într-o luptă inegală cu sarcina. Dar suntem perseverenți, nu renunțăm! Al patrulea lucru util.

Cum să extragi rădăcini dintr-un număr mare?

Să ne amintim formula pentru extragerea rădăcinilor dintr-un produs. Cel pe care l-am scris chiar mai sus. Dar unde este munca noastră!? Avem un număr mare 6561 și atât. Da, munca nu este aici. Dar dacă avem nevoie, o vom face hai să o facem! Să factorizăm acest număr. Avem dreptul.

În primul rând, să ne dăm seama cu ce exact acest număr este divizibil? Ce, nu știi!? Ai uitat semnele de divizibilitate!? Degeaba. Accesați Secțiunea Specială 555, subiectul „Fracțiuni”, acestea sunt acolo. Acest număr este divizibil cu 3 și 9. Deoarece suma numerelor (6+5+6+1=18) se împarte la aceste numere. Acesta este unul dintre semnele divizibilității. Nu trebuie să împărțim la trei (acum veți înțelege de ce), dar vom împărți la 9. Cel puțin într-un colț. Obținem 729. Deci am găsit doi factori! Primul este nouă (am ales-o noi înșine), iar al doilea este 729 (așa a ieșit). Deja poți scrie:

Înțelegi ideea? Vom face același lucru cu numărul 729. De asemenea, este divizibil cu 3 și 9. Nu împărțim din nou cu 3, împărțim cu 9. Obținem 81. Și știm acest număr! Scriem:

Totul a ieșit ușor și elegant! Rădăcina trebuia extrasă bucată cu bucată, dar ei bine. Acest lucru se poate face cu orice număr mare. Înmulțiți-le și mergeți înainte!

Apropo, de ce nu ai trebuit să împărți la 3? Da, pentru că rădăcina lui trei nu poate fi extrasă exact! Este logic să o includeți în astfel de factori încât rădăcina să poată fi extrasă bine din cel puțin unul. Acestea sunt 4, 9, 16 bine și așa mai departe. Împărțiți numărul dvs. uriaș la aceste numere unul câte unul și veți avea noroc!

Dar nu neapărat. Poate nu ai noroc. Să presupunem că numărul 432, atunci când este factorizat și utilizând formula rădăcină pentru produs, va da următorul rezultat:

Ei bine, bine. Oricum, am simplificat expresia. În matematică, se obișnuiește să se lase cel mai mic număr posibil sub rădăcină. În procesul de rezolvare, totul depinde de exemplu (poate că totul poate fi scurtat fără simplificare), dar în răspuns trebuie să dați un rezultat care nu poate fi simplificat în continuare.

Apropo, știți ce am făcut cu rădăcina lui 432?

Noi a scos factorii de sub semnul rădăcinii ! Așa se numește această operație. În caz contrar, vei primi o sarcină - „ eliminați factorul de sub semnul rădăcinii„Dar bărbații nici măcar nu știu.) Iată o altă aplicație pentru tine proprietățile rădăcinilor. Lucru util al cincilea.

Cum să eliminați multiplicatorul de sub rădăcină?

Uşor. Factorizați expresia radicală și extrageți rădăcinile care sunt extrase. Hai sa ne uitam:

Nimic supranatural. Este important să alegeți multiplicatorii potriviți. Aici am extins 72 ca 36·2. Și totul a ieșit bine. Sau l-ar fi putut extinde altfel: 72 = 6·12. Si ce!? Rădăcina nu poate fi extrasă nici din 6, nici din 12. Ce să fac?!

E bine. Fie căutați alte opțiuni de descompunere, fie continuați să descompuneți totul până când se oprește! Ca aceasta:

După cum puteți vedea, totul a funcționat. Acesta, apropo, nu este cel mai rapid, ci cel mai fiabil mod. Împărțiți numărul în cei mai mici factori, apoi adunați-i pe aceiași în grămezi. Metoda este, de asemenea, utilizată cu succes la înmulțirea rădăcinilor incomode. De exemplu, trebuie să calculați:

Înmulțiți totul - obțineți un număr nebun! Și atunci cum să extragi rădăcina din ea?! Factoring din nou? Nu, nu avem nevoie de muncă suplimentară. O consideram imediat în factori și îi colectăm pe aceiași în grupuri:

Asta e tot. Desigur, nu este necesar să-l extinzi până la capăt. Totul este determinat de abilitățile tale personale. Am adus exemplul în punctul în care totul este clar pentru tine Asta înseamnă că deja putem număra. Principalul lucru este să nu faci greșeli. Nu om pentru matematică, ci matematică pentru om!)

Să aplicăm cunoștințele în practică? Să începem cu ceva simplu:

Regula pentru adăugarea rădăcinilor pătrate

Proprietățile rădăcinilor pătrate

Până acum am efectuat cinci operații aritmetice pe numere: adunare, scădere, multiplicare, împărțirea și exponentiația, iar în calcule au fost utilizate în mod activ diverse proprietăți ale acestor operații, de exemplu a + b = b + a, a n -b n = (ab) n etc.

Acest capitol introduce o nouă operație - luarea rădăcinii pătrate a unui număr nenegativ. Pentru a-l folosi cu succes, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni, pe care o vom face în această secțiune.

Dovada. Să introducem următoarea notație:
Trebuie să demonstrăm că pentru numerele nenegative x, y, z este valabilă egalitatea x = yz.

Deci, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Atunci x 2 = y 2 z 2, adică x 2 = (yz) 2.

Dacă pătrate două numere nenegative sunt egale, atunci numerele în sine sunt egale, ceea ce înseamnă că din egalitatea x 2 = (yz) 2 rezultă că x = yz, și asta era ceea ce trebuia demonstrat.

Iată un scurt rezumat al demonstrației teoremei:

Nota 1. Teorema rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de doi factori nenegativi.

Nota 2. Teorema 1 poate fi scris folosind construcția „dacă”. , apoi” (cum se obișnuiește pentru teoremele din matematică). Să dăm formularea corespunzătoare: dacă a și b sunt numere nenegative, atunci egalitatea este adevărată .

Exact așa vom formula următoarea teoremă.

(O formulare scurtă care este mai convenabilă de utilizat în practică: rădăcina unei fracții este egală cu fracția rădăcinilor sau rădăcina coeficientului este egală cu coeficientul rădăcinilor.)

De data aceasta vom oferi doar un scurt rezumat al demonstrației, iar dumneavoastră încercați să faceți comentarii adecvate, similare cu cele care au format esența demonstrației teoremei 1.

Exemplul 1. Calculați .
Soluţie. Folosind prima proprietate rădăcini pătrate(Teorema 1), obținem

Nota 3. Desigur, acest exemplu poate fi rezolvat diferit, mai ales dacă aveți un microcalculator la îndemână: înmulțiți numerele 36, 64, 9 și apoi luați rădăcina pătrată a produsului rezultat. Cu toate acestea, veți fi de acord că soluția propusă mai sus arată mai culturală.

Nota 4. În prima metodă, am efectuat calcule „direct”. A doua modalitate este mai elegantă:
am aplicat formulă a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) și a folosit proprietatea rădăcinilor pătrate.

Nota 5. Unele „capete fierbinți” oferă uneori această „soluție” pentru exemplul 3:

Acest lucru, desigur, nu este adevărat: vedeți - rezultatul nu este același ca în exemplul 3. Faptul este că nu există nicio proprietate , deoarece nu există proprietăți Există doar proprietăți legate de înmulțirea și împărțirea rădăcinilor pătrate. Fii atent și atent, nu accepta iluzii.

Exemplul 4. Calculați: a)
Soluţie. Orice formulă în algebră este folosită nu numai „de la dreapta la stânga”, ci și „de la stânga la dreapta”. Astfel, prima proprietate a rădăcinilor pătrate înseamnă că, dacă este necesar, poate fi reprezentată sub forma , și invers, care poate fi înlocuită cu expresia Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor pătrate. Ținând cont de acest lucru, să rezolvăm exemplul propus.

Pentru a încheia această secțiune, să remarcăm încă o proprietate destul de simplă și în același timp importantă:
dacă a > 0 și n - numar natural, Acea



Exemplul 5. calculati fără a folosi un tabel de pătrate de numere și un microcalculator.

Soluţie. Să factorăm numărul radical în factori primi:



Nota 6. Acest exemplu ar putea fi rezolvat în același mod ca exemplul similar din § 15. Este ușor de ghicit că răspunsul va fi „80 cu coadă”, deoarece 80 2 2 . Să găsim „coada”, adică ultima cifră a numărului dorit. Până acum știm că dacă se ia rădăcina, atunci răspunsul poate fi 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 sau 89. Trebuie doar să verificăm două numere: 84 și 86, deoarece doar ele, la pătrat, va da ca rezultat patru cifre un număr care se termină cu 6, adică același număr care se termină cu numărul 7056. Avem 84 2 = 7056 - asta ne trebuie. Mijloace,

Mordkovich A. G., Algebră. Clasa a VIII-a: Manual. pentru invatamantul general instituţii - ed. a 3-a, revizuită. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Cărți, manuale de matematică descărcate, note pentru a ajuta profesorul și elevii, studiază online

Dacă aveți corecții sau sugestii pentru această lecție, vă rugăm să ne scrieți.

Dacă doriți să vedeți alte ajustări și sugestii pentru lecții, uitați-vă aici - Forum educațional.

Cum să adăugați rădăcini pătrate

Rădăcina pătrată a unui număr X număr numit A, care în procesul de înmulțire de la sine ( A*A) poate da un număr X.
Acestea. A * A = A 2 = X, Și √X = A.

Deasupra rădăcinilor pătrate ( √x), ca și alte numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x — √y ).
Și apoi aduceți rădăcinile la forma lor cea mai simplă - dacă există altele similare între ele, este necesar să faceți o reducere. Constă în luarea coeficienților termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi punerea lor între paranteze și deducerea rădăcinii comune în afara parantezelor factorului. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1: Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, mai întâi trebuie să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, putem obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Gata, exemplul este rezolvat. Dar nu se întâmplă întotdeauna atât de ușor.

Pasul 2. Extragerea multiplicatorului numărului de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate perfecte sub semnul rădăcinii, puteți încerca să eliminați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, să luăm expresia √24 + √54 .

Factorizați numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Printre 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. Printre 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitatea:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3: Reducerea Numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul fracției, de exemplu, A/(√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

În mod similar, dacă numitorul are o diferență de rădăcină: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm fracția ca exemplu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Exemplu de reducere a numitorului complex

Acum vom lua în considerare un exemplu destul de complex de a scăpa de iraționalitate în numitor.

De exemplu, să luăm o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Valoarea se calculează separat pentru fiecare număr și se notează cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În continuare, se efectuează toate operațiunile necesare, ca și în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul a unei valori aproximative

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să adăugați rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adunăm rădăcina pătrată a lui cinci și rădăcina pătrată a lui trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva pătratul de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule și rezultat final Acest calcul matematic ar trebui să aibă ca rezultat numărul care ne-a fost dat inițial.

Operația cu rădăcini: adunare și scădere

Extragerea rădăcinii cadranului unui număr nu este singura operație care poate fi efectuată cu acest fenomen matematic. La fel ca numerele obișnuite, rădăcinile pătrate adună și scad.

Reguli pentru adăugarea și scăderea rădăcinilor pătrate

Operații precum adunarea și scăderea rădăcinilor pătrate sunt posibile numai dacă expresia radicalului este aceeași.

Puteți adăuga sau scădea expresii 2 3 și 6 3, dar nu 5 6 Și 9 4. Dacă este posibil să simplificați expresia și să o reduceți la rădăcini cu același radical, atunci simplificați și apoi adăugați sau scădeți.

Acțiuni cu rădăcini: baze

6 50 — 2 8 + 5 12

  1. Simplificați expresia radicală. Pentru a face acest lucru, este necesar să descompuneți expresia radicală în 2 factori, dintre care unul este un număr pătrat (numărul din care este extrasă întreaga rădăcină pătrată, de exemplu, 25 sau 9).
  2. Apoi trebuie să luați rădăcina numărului pătratși scrieți valoarea rezultată înainte de semnul rădăcină. Vă rugăm să rețineți că al doilea factor este introdus sub semnul rădăcinii.
  3. După procesul de simplificare, este necesar să se sublinieze rădăcinile cu aceleași expresii radicale - doar ele pot fi adăugate și scăzute.
  4. Pentru rădăcinile cu aceleași expresii radicale, este necesar să se adauge sau să scadă factorii care apar înaintea semnului rădăcinii. Expresia radicală rămâne neschimbată. Nu puteți adăuga sau scădea numere radicale!

Dacă aveți un exemplu cu un număr mare de expresii radicale identice, atunci subliniați astfel de expresii cu linii simple, duble și triple pentru a facilita procesul de calcul.

Să încercăm să rezolvăm acest exemplu:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Mai întâi trebuie să descompuneți 50 în 2 factori 25 și 2, apoi luați rădăcina lui 25, care este egală cu 5, și scoateți 5 de sub rădăcină. După aceasta, trebuie să înmulțiți 5 cu 6 (multiplicatorul de la rădăcină) și să obțineți 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Mai întâi, trebuie să descompuneți 8 în 2 factori: 4 și 2. Apoi, din 4, extrageți rădăcina, care este egală cu 2, și îndepărtați 2 de sub rădăcină. După aceasta, trebuie să înmulțiți 2 cu 2 (multiplicatorul de la rădăcină) și să obțineți 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Mai întâi trebuie să descompuneți 12 în 2 factori: 4 și 3. Apoi extrageți rădăcina lui 4, care este egală cu 2, și îndepărtați-o de sub rădăcină. După aceasta, trebuie să înmulțiți 2 cu 5 (factorul de la rădăcină) și să obțineți 10 3.

Rezultat simplificare: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ca rezultat, am văzut câte expresii radicale identice sunt conținute în acest exemplu. Acum să exersăm cu alte exemple.

  • Să simplificăm (45) . Factorul 45: (45) = (9 × 5) ;
  • Scoatem 3 de sub rădăcină (9 = 3): 45 = 3 5;
  • Adăugați factorii de la rădăcini: 3 5 + 4 5 = 7 5.
  • Să simplificăm 6 40. Factorim 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
  • Scoatem 2 de sub rădăcină (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
  • Înmulțim factorii care apar în fața rădăcinii: 12 10 ;
  • Scriem expresia într-o formă simplificată: 12 10 - 3 10 + 5 ;
  • Deoarece primii doi termeni au aceleași numere radicale, le putem scădea: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

    • După cum putem vedea, nu este posibil să simplificăm numerele radicale, așa că căutăm termeni cu aceleași numere radicale în exemplu, efectuăm operații matematice (adunare, scădere etc.) și scriem rezultatul:

    (9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

    Sfat:

  • Înainte de a adăuga sau scădea, este necesar să simplificați (dacă este posibil) expresiile radicale.
  • Adăugarea și scăderea rădăcinilor cu diferite expresii radicale este strict interzisă.
  • Nu trebuie să adăugați sau să scădeți un număr întreg sau rădăcină: 3 + (2 x) 1 / 2 .
  • Când efectuați operații cu fracții, trebuie să găsiți un număr care este divizibil cu fiecare numitor, apoi aduceți fracțiile la un numitor comun, apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorii neschimbați.

Proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice. Puterea rădăcinii pătrate aritmetice

Conversia rădăcinilor pătrate aritmetice. Inversarea rădăcinilor pătrate aritmetice

A extrage rădăcina pătrată a unui polinom, trebuie să calculați polinomul și să extrageți rădăcina din numărul rezultat.

Atenţie! Nu puteți extrage rădăcina din fiecare termen (minuțiu și scăzut) separat.

Shchob vityagti rădăcină pătrată a unui polinom, trebuie să calculați termenul bogat și să luați rădăcina din numărul eliminat.

Respect! Nu se poate extrage rădăcina din anexul pielii (schimbat sau îndepărtat) okremo.

A lua rădăcina pătrată a unui produs (cot), puteți calcula rădăcina pătrată a fiecărui factor (dividend și divizor) și luați valorile rezultate ca produs (cot).

Pentru a scădea rădăcina pătrată din partea suplimentară (părți), puteți calcula rădăcina pătrată a multiplicatorului de piele (împărțit și împărțit) și să luați valoarea scăzută ca parte suplimentară (parte).

Pentru a extrage rădăcina pătrată a unei fracții, trebuie să extrageți separat rădăcina pătrată a numărătorului și numitorului și lăsați valorile rezultate ca o fracție sau să le calculați ca un coeficient (dacă acest lucru este posibil prin condiție).

Pentru a scădea rădăcina pătrată din fracție, trebuie să extrageți rădăcina pătrată din numărul și semnul semnului și să eliminați valoarea din fracție sau să o calculați ca parte (cum este posibil pentru creier).

Puteți scoate un multiplicator de sub semnul rădăcină și puteți pune un multiplicator sub semnul rădăcină. Când un factor este îndepărtat, rădăcina este extrasă din el și, atunci când este adăugată, este ridicată la puterea corespunzătoare.

Puteți introduce un multiplicator în spatele semnului rădăcină și puteți introduce un multiplicator sub semnul rădăcină. Când se adaugă un multiplicator, rădăcina este extrasă din acesta, iar când este adăugată, rădăcina este extrasă din acesta.

Exemple. Aplică-l

Pentru a converti suma (diferența) rădăcinilor pătrate, trebuie să reduceți expresiile radicale la aceeași bază a gradului, dacă este posibil, extrageți rădăcinile din puteri și scrieți-le în fața semnelor rădăcinilor, iar restul se pot adăuga rădăcini pătrate cu aceleași expresii radicale, la care coeficienții din fața semnului se adaugă rădăcină și se adaugă aceeași rădăcină pătrată.

Pentru a transforma suma (mărimea) rădăcinilor pătrate, este necesar să aducem expresiile radicale la o bază a pasului, ceea ce este posibil prin scăderea rădăcinilor treptelor și scriind-le în fața semnelor rădăcinilor, iar rădăcină pătrată cu aceleași expresii de rădăcină pot fi folosite pentru pliere, pentru care se adaugă coeficienți înainte de semnul rădăcinii Și se adaugă aceeași rădăcină pătrată.

Să reducem toate expresiile radicale la baza 2.

De la un grad par, rădăcina este îndepărtată complet de la un grad impar, rădăcina bazei în puterea lui 1 este lăsată sub semnul rădăcinii.

Prezentăm numere întregi similare și adăugăm coeficienții cu aceleași rădăcini. Să scriem binomul ca produs al unui număr și al unui binom sumă.

Să aducem toate rădăcinile la baza 2.

Dintr-o treaptă pereche, rădăcina este trasă spre exterior dintr-o treaptă nepereche, rădăcina bazei în pasul 1 este îndepărtată sub semnul rădăcinii.

La aceleași rădăcini se adaugă numere și coeficienți similari. Să scriem binomul ca adunare a numărului și a sumei binomului.

Reducem expresiile radicale la cea mai mică bază sau produsul puterilor cu cele mai mici baze. Din puterile egale ale expresiilor radicale extragem rădăcina restul sub forma bazei gradului cu exponentul 1 sau produsul acestor baze este lăsat sub semnul rădăcinii. Prezentăm termeni similari (adăugăm coeficienții rădăcinilor identice).

Efectuăm înrădăcinarea expresiei la cea mai mică bază sau crearea de pași de la cea mai mică bază. Rădăcina se extrage din cele două trepte ale soiurilor de subînrădăcinare, excesul sub forma bazei treptei cu indicatorul 1 sau adăugarea unor astfel de baze se îndepărtează sub semnul rădăcinii. Introducem membri similari (se aduna coeficientul noilor radacini).

Să înlocuim împărțirea fracțiilor cu înmulțirea (cu înlocuirea celei de-a doua fracții cu reciproca ei). Să înmulțim separat numărătorii și numitorii fracțiilor. Sub fiecare semn rădăcină evidențiem gradele. Să reducem aceiași factori în numărător și numitor. Să luăm rădăcinile puterilor egale.

Înlocuiți împărțirea fracțiilor cu înmulțirea (prin înlocuirea unei alte fracții cu o fracție). Să înmulțim împreună numerele și semnificanții fracțiilor. Pașii sunt vizibili sub semnul pielii rădăcinii. Rapid, însă, există noi multiplicatori în cartea de numere și în cartea de semne. Rădăcina Vinesemo de la pașii băieților.

Pentru a compara două rădăcini pătrate, expresiile lor radicale trebuie reduse la puteri cu aceeași bază, atunci cu cât se arată mai multe puteri ale expresiei radicale, cu atât valoarea rădăcinii pătrate este mai mare.

În acest exemplu, este imposibil să se reducă expresiile radicale la o singură bază, deoarece în prima baza este 3, iar în a doua - 3 și 7.

A doua modalitate de comparație este să introduceți coeficientul rădăcinii în expresia radicală și să comparați valorile numerice ale expresiilor radicale. Pentru o rădăcină pătrată, cu cât expresia radicalului este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii este mai mare.

Pentru a egaliza două rădăcini pătrate, expresiile lor rădăcină trebuie aduse la un nivel cu aceeași bază, deci cu cât gradul de exprimare a rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii pătrate este mai mare.

Într-un caz, nu este posibil să reduceți rădăcina expresiei la o bază, deoarece în primul baza este 3, iar în celălalt - 3 și 7.

O altă modalitate de a egaliza este introducerea coeficientului rădăcină în expresia rădăcină și egalizarea valorilor numerice ale expresiilor rădăcină. Într-o rădăcină pătrată, cu cât vârful sub-rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii este mai mare.

Folosind legea distributivă a înmulțirii și regula înmulțirii rădăcinilor cu aceiași exponenți (în cazul nostru, rădăcini pătrate), am obținut suma a două rădăcini pătrate cu produsul sub semnul rădăcinii. Să descompunăm 91 în factori primi și să scoatem rădăcina dintre paranteze cu factori radicali comuni (13*5).

Am obținut produsul unei rădăcini și unui binom, unul dintre monomiile căruia este un întreg (1).

Legea separată a înmulțirii a lui Vikorist și regula înmulțirii rădăcinilor cu aceiași indicatori (în cazul nostru - rădăcini pătrate), au scăzut suma a două rădăcini pătrate cu o adunare sub semnul rădăcinii. Așezăm 91 pe multiplicatori simpli și purtăm rădăcina de brațe de la multiplicatorii sub rădăcină (13*5).

Am luat adunarea unei rădăcini și a unui binom, în care unul dintre monomii are un număr întreg (1).

fundul 9:

În expresiile radicale, selectăm prin factori numerele din care poate fi extrasă întreaga rădăcină pătrată. Să extragem rădăcinile pătrate ale puterilor și să atribuim numerele coeficienților rădăcinilor pătrate.

Termenii acestui polinom au un factor comun √3, care poate fi scos din paranteze. Să prezentăm termeni similari.

În expresiile rădăcinilor, numerele sunt văzute ca multiplicatori, din care se poate scădea întreaga rădăcină pătrată. Luăm rădăcinile pătrate din trepte și punem numerele ca coeficienți ai rădăcinilor pătrate.

Termenii acestui polinom au un multiplicator multiplu √3, care poate fi purtat de brațe. Facem completări similare.

Produsul sumei și diferența a două baze identice (3 și √5) folosind formula de înmulțire prescurtată poate fi scris ca diferența pătratelor bazelor.

Rădăcina pătrată pătrată este întotdeauna egală cu expresia radicală, așa că vom scăpa de radicalul (semnul rădăcinii) din expresie.

Adunarea sumei și diferența a două baze noi (3 și √5) folosind formula scurtă de înmulțire poate fi scrisă ca diferența pătratelor bazelor.

Rădăcina pătrată a pătratului este întotdeauna mai veche decât rădăcina virusului, așa că ne vom aminti radicalul (semnul rădăcinii) virusului.

Înapoi la școală. Adăugarea de rădăcini

În timpul nostru, cu computerele electronice moderne, calcularea rădăcinii unui număr nu pare a fi o sarcină dificilă. De exemplu, √2704=52, orice calculator va calcula acest lucru pentru tine. Din fericire, calculatorul este disponibil nu numai în Windows, ci și într-un telefon obișnuit, chiar și cel mai simplu. Adevărat, dacă dintr-o dată (cu un grad mic de probabilitate, al cărui calcul, apropo, include adăugarea rădăcinilor) te trezești fără fonduri disponibile, atunci, din păcate, va trebui să te bazezi doar pe creierul tău.

Antrenamentul minții nu eșuează niciodată. Mai ales pentru cei care nu lucrează cu numere atât de des, cu atât mai puțin cu rădăcini. Adăugarea și scăderea rădăcinilor este un antrenament bun pentru o minte plictisită. De asemenea, vă voi arăta cum să adăugați rădăcini pas cu pas. Exemple de expresii pot fi următoarele.

Ecuația de simplificare:

Aceasta este o expresie irațională. Pentru a o simplifica, trebuie să reduceți toate expresiile radicale la aspectul general. O facem pas cu pas:

Primul număr nu mai poate fi simplificat. Să trecem la al doilea termen.

3√48 factor 48: 48=2×24 sau 48=3×16. Rădăcina pătrată a lui 24 nu este un număr întreg, adică are un rest fracționar. Deoarece avem nevoie de o valoare exactă, rădăcinile aproximative nu sunt potrivite pentru noi. Rădăcina pătrată a lui 16 este 4, scoate-o de sub semnul rădăcinii. Se obține: 3×4×√3=12×√3

Următoarea noastră expresie este negativă, adică. scris cu semnul minus -4×√(27.) Factorim 27. Obținem 27=3×9. Nu folosim factori fracționari deoarece este mai dificil să calculăm rădăcina pătrată a fracțiilor. Scoatem 9 de sub semn, adică. calculați rădăcina pătrată. Obținem următoarea expresie: -4×3×√3 = -12×√3

Următorul termen √128 calculează partea care poate fi scoasă de sub rădăcină. 128=64×2, unde √64=8. Dacă vă este mai ușor, vă puteți imagina această expresie astfel: √128=√(8^2×2)

Rescriem expresia cu termeni simplificați:

Acum adunăm numerele folosind aceeași expresie radicală. Nu puteți adăuga sau scădea expresii cu expresii radicale diferite. Adăugarea de rădăcini necesită respectarea acestei reguli.

Obținem următorul răspuns:

√2=1×√2 - Sper că faptul că în algebră se obișnuiește să se omite astfel de elemente să nu fie o noutate pentru tine.

Expresiile pot fi reprezentate nu numai cu o rădăcină pătrată, ci și cu o rădăcină cubică sau a n-a.

Adunarea și scăderea rădăcinilor cu exponenți diferiți, dar cu o expresie radicală echivalentă, are loc după cum urmează:

Dacă avem o expresie de forma √a+∛b+∜b, atunci putem simplifica această expresie după cum urmează:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Am redus doi termeni similari la un exponent comun rădăcină. Aici a fost folosită proprietatea rădăcinilor, care spune: dacă numărul gradului expresiei radicalului și numărul exponentului rădăcinii sunt înmulțite cu același număr, atunci calculul acestuia va rămâne neschimbat.

Notă: exponenții se adună numai atunci când se înmulțesc.

Să ne uităm la un exemplu în care expresia conține fracții.

Vom decide în etape:

5√8=5*2√2 - scoatem partea extrasă de sub rădăcină.

Dacă corpul rădăcinii este reprezentat de o fracție, atunci de multe ori această fracție nu se va schimba dacă luați rădăcina pătrată a dividendului și a divizorului. Drept urmare, am primit egalitatea descrisă mai sus.

Iată răspunsul.

Principalul lucru de reținut este că o rădăcină cu exponent par nu poate fi extrasă din numere negative. Dacă expresia radicală de grad par este negativă, atunci expresia este de nerezolvat.

Adăugarea rădăcinilor este posibilă numai dacă expresiile radicale coincid, deoarece sunt termeni similari. Același lucru este valabil și pentru diferență.

Adăugarea rădăcinilor cu exponenți numerici diferiți se realizează prin reducerea ambilor termeni la un grad comun de rădăcină. Această lege funcționează în același mod ca și reducerea la un numitor comun atunci când se adună sau se scad fracții.

Dacă o expresie radicală conține un număr ridicat la o putere, atunci această expresie poate fi simplificată cu condiția să existe un numitor comun între exponentul rădăcinii și putere.

Rădăcina pătrată a unui produs și a unei fracții

Rădăcina pătrată a unui număr este un număr al cărui pătrat este egal cu a. De exemplu, numerele -5 și 5 sunt rădăcini pătrate ale numărului 25. Adică rădăcinile ecuației x^2=25 sunt rădăcinile pătrate ale numărului 25. Acum trebuie să învățați cum să lucrați cu pătratul operația la rădăcină: studiați proprietățile sale de bază.

Rădăcina pătrată a produsului

√(a*b) =√a*√b

Rădăcina pătrată a produsului a două numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor numere. De exemplu, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Este important de înțeles că această proprietate se aplică și în cazul în care expresia radicală este produsul lui trei, patru etc. factori nenegativi.

Uneori există o altă formulare a acestei proprietăți. Dacă a și b sunt numere nenegative, atunci următoarea egalitate este adevărată: √(a*b) =√a*√b. Nu există absolut nicio diferență între ele, puteți utiliza una sau alta formulare (care este mai convenabil să vă amintiți).

Rădăcina pătrată a unei fracții

Dacă a>=0 și b>0, atunci următoarea egalitate este adevărată:

√(a/b) =√a/√b.

De exemplu, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Această proprietate are și o formulare diferită, care, după părerea mea, este mai convenabilă pentru memorare.
Rădăcina pătrată a coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Este de remarcat faptul că aceste formule funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Adică, dacă este necesar, putem reprezenta produsul rădăcinilor ca rădăcină a unui produs. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate.

După cum probabil ați observat, aceste proprietăți sunt foarte convenabile și aș dori să am aceleași proprietăți pentru adunare și scădere:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Dar, din păcate, astfel de proprietăți sunt pătrate nu au rădăcini, și de aceea este așa nu se poate face în calcule.

  • 13. Conducerea prin intersecțiile regulilor de circulație 2018 cu comentarii online 13.1. La virajul la dreapta sau la stânga, șoferul trebuie să cedeze pietonii și bicicliștii care traversează carosabilul pe care virează. Această instrucțiune se aplică tuturor [...]
  • Întâlnirea părinților „Drepturile, îndatoririle și responsabilitățile părinților” Prezentare pentru lecție Descarcă prezentarea (536.6 kB) Atenție! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate […]
  • Capitala maternității regionale din regiunea Oryol Capitala maternității regionale (MK) din Oryol și regiunea Oryol a fost înființată în 2011. Acum reprezintă o măsură suplimentară de sprijin social pentru familiile numeroase, sub forma unei […]
  • Valoarea unui beneficiu unic la înregistrare în întâlniri timpuriiîn 2018 Pagina pe care ați solicitat-o ​​nu a fost găsită. Este posibil să fi introdus o adresă greșită sau pagina a fost ștearsă. Pentru a naviga, utilizați [...]
  • Avocat pentru cauze economice Infracțiunile din sfera economică sunt un concept destul de larg. Astfel de acte includ fraudă, antreprenoriat ilegal, legalizarea fondurilor obținute ilegal, operațiuni bancare ilegale […]
  • Serviciul de presă al Băncii Centrale Federația Rusă(Banca Rusiei) Serviciul de presă 107016, Moscova, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Cu privire la numirea unei administrații temporare, Departamentul de Relații Externe și Publice al Băncii Rusiei raportează că, în conformitate cu paragraful 2 […]
  • caracteristici generaleși o scurtă prezentare generală a căilor navigabile Clasificarea bazinelor de apă Clasificarea bazinelor de apă pentru navigarea navelor de agrement (mici) supravegheate de GIMS din Rusia se realizează în funcție de […]
  • Kucherena = avocatul lui Viktor Tsoi Și aceasta este exclusivă: scrisoarea de astăzi a lui Anatoly Kucherena. Continuând subiectul. Nimeni nu a publicat încă această scrisoare. Și este necesar, cred. Partea 1 pentru moment. Voi publica în curând partea a doua, semnată de celebrul avocat. De ce este important? […]