Лодки

Момент инерции относительно параллельно перенесенных осей. Момент инерции при параллельном переносе осей. Теорема Штейнера-Гюйгенса о параллельном переносе осей

2. Статические моменты площади сечения относительно осей Oz и Оy (см 3 , м 3):

4. Центробежный момент инерции сечения относительно осей Oz и Oy (см 4 , м 4):

Так как , то

Осевые J z и J y и полярный J p моменты инерции всегда положительные, так как под знаком интеграла находятся координаты во второй степени. Статические моменты S z и S y , а также центробежный момент инерции J zy могут быть как положительными, так и отрицательными.

В сортаменте прокатной стали для уголков приводятся значения центробежных моментов по модулю. В расчет следует вводить их значения с учетом знака.

Для определения знака центробежного момента уголка (рис. 3.2) мысленно представим его в виде суммы трех интегралов, которые вычисляются отдельно для частей сечения, расположенных в четвертях системы координат. Очевидно, что для частей, расположенных в I и III четвертях будем иметь положительное значение этого интеграла, так как произведение zydA будет положительным, а интегралы, вычисляемые для частей, расположенных во II и IV четвертях будут отрицательными (произведение zydA будет отрицательным). Таким образом, для уголка на рис. 3.2,а значение центробежного момента инерции будет отрицательным.

Рассуждая подобным образом для сечения, имеющего хотя бы одну ось симметрии (рис. 3.2,б) можно прийти к заключению, что центробежный момент инерции J zy равен нулю, если одна из осей (Оz или Оy) является осью симметрии сечения. Действительно, для частей треугольника, расположенных в 1 и 2 четвертях центробежные моменты инерции будут отличаться только знаком. Тоже можно сказать относительно частей, которые находятся в III и IV четвертях.

Статические моменты. Определение центра тяжести

Вычислим статические моменты относительно осей Оz и Оy прямоугольника, показанного на рис. 3.3.

Рис 3.3. К вычислению статических моментов

Здесь: А – площадь сечения, y C и z C – координаты его центра тяжести. Центр тяжести прямоугольника находится на пересечении диагоналей.

Очевидно, что, если оси, относительно которых вычисляются статические моменты, проходят через центр тяжести фигуры, то его координаты равны нулю (z C = 0, y C = 0), и, в соответствии с формулой (3.6), статические моменты также будут равны нулю. Таким образом, центр тяжести сечения – это точка, обладающая следующим свойством: статический момент относительно любой оси, проходящей через нее , равен нулю .

Формулы (3.6) позволяют найти координаты центра тяжести z C и y C сечения сложной формы. Если сечение можно представить в виде n частей, для которых известны площади и положение центров тяжести, то вычисление координат центра тяжести всего сечения можно записать в виде:

(3.7)

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть известны моменты инерции J z , J y и J zy относительно осей Oyz . Необходимо определить моменты инерции J Z , J Y и J ZY относительно осей O 1 YZ , параллельных осям Oyz (рис. 3.4) и отстоящих от них на расстояния a (по горизонтали) и b (по вертикали)

Рис 3.4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Координаты элементарной площадки dA связаны между собой следующими равенствами: Z = z + a ; Y = y + b .

Вычислим моменты инерции J Z , J Y и J ZY .

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Если точка O пересечения осей Oyz совпадает с точкой С – центром тяжести сечения (рис. 3.5) статические моменты S z и S y становятся равными нулю, и формулы упрощаютсяY i и Z i нужно брать с учетом знаков. На осевые моменты инерции знаки координат не повлияют (координаты возводятся во вторую степень), а вот на центробежный момент инерции знак координаты окажет существенное влияние (произведение Z i Y i A i может оказаться отрицательным).

Если оси являются центральными, то оси моментов будут иметь вид:

15.Зависимость между моментами инерции при повороте осей :

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Угол a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции . Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции . Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции - оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a 0 >0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции . Моменты инерции относительно этих осей:

J max + J min = J x + J y . Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Если J x и J y главные моменты инерции, то i x и i y - главные радиусы инерции . Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции . При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i x 1 для любой оси х 1 . Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х 1 , и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х 1: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J xy =0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

Изменение моментов инерции стержня при параллельном переносе осей.

В дополнении к статическим моментам рассмотрим ещё три следующих интеграла:

Где по прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат xOy. Первые 2 интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно х, у. Осевые моменты всегда положительны, т.к. положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. (см рис). Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х 1 и у 1 . Требуется определить моменты относительно осей х2 и у2.

Подставляя сюда x 2 =x 1 -a и y 2 =y 1 -b Находим

Раскрывая скобки, имеем.

Если оси х 1 и у 1 – центральные, то S x 1 = S y 1 =0 и полученные выражения упрощаются:

При параллельном переносе осей (если одна из осей – центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Часто при решении практических задач необходимо определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом удобно использовать уже известные значения моментов инерции всего сечения (или отдельных составляющих его частей) относительно других осей, приводимые в технической литературе, специальных справочниках и таблицах, а также подсчитываемые по имеющимся формулам. Поэтому очень важно установить зависимости между моментами инерции одного и того же сечения относительно разных осей.

В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования старой системы координат:

1) путем параллельного переноса осей координат в новое положение и

2) путем поворота их относительно нового начала координат. Рассмотрим первое из этих преобразований, т. е. параллельный перенос координатных осей.

Предположим, что моменты инерции данного сечения относительно старых осей (рис. 18.5) известны.

Возьмем новую систему координат оси которой параллельны прежним. Обозначим а и b координаты точки (т. е. нового начала координат) в старой системе координат

Рассмотрим элементарную площадку Координаты ее в старой системе координат равны у и . В новой системе они равны

Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси

В полученном выражении -момент инерции статический момент сечения относительно оси равен площади F сечения.

Следовательно,

Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то статический момент и

Из формулы (25.5) видно, что момент инерции относительно любой оси, не проходящей через центр тяжести, больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, на величину которая всегда положительна. Следовательно, из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

Момент инерции относительно оси [по аналогии с формулой (24.5)]

В частном случае, когда ось у проходит через центр тяжести сечения

Формулы (25.5) и (27.5) широко используются при вычислении осевых моментов инерции сложных (составных) сечений.

Подставим теперь значения в выражение центробежного момента инерции относительно осей

Рассмотрим определение моментов инерции плоской фигуры (рис) относительно осей ${Z_1}$ и ${Y_1}$ при известных моментах инерции относительно оси $X$ и $Y$.

${I_{{x_1}}} = \int\limits_A {y_1^2dA} = \int\limits_A {{{\left({y + a} \right)}^2}dA} = \int\limits_A {\left({{y^2} + 2ay + {a^2}} \right)dA} = \int\limits_A {{y^2}dA} + 2a\int\limits_A {ydA} + {a^2}\int\limits_A {dA} = $

$ = {I_x} + 2a{S_x} + {a^2}A$,

где ${S_x}$ - статический момент фигуры относительно оси $X$.

Аналогично относительно оси ${Y_1}$

${I_{{y_1}}} = {I_y} + 2a{S_y} + {b^2}A$.

Центробежный момент инерции относительно осей ${X_1}$ и ${Y_1}$

${I_{{x_1}{y_1}}} = \int\limits_A {{x_1}{y_1}dA} = \int\limits_A {\left({x + b} \right)\left({y + a} \right)dA} = \int\limits_A {\left({xy + xa + by + ba} \right)dA} = \int\limits_A {xydA} + a\int\limits_A {xdA} + b\int\limits_A {ydA} + ab\int\limits_A {dA} = {I_{xy}} + a{S_x} + b{S_y} + abA$

Чаще всего используется переход от центральных осей (собственных осей плоской фигуры) в произвольных, параллельных. Тогда ${S_x} = 0$, ${S_y} = 0$, так как оси $X$ и $Y$ являются центральными. Окончательно имеем

где , - собственные моменты инерции, т. е. моменты инерции относительно собственных центральных осей;

$a$, $b$ - расстояния от центральных осей до рассматриваемых;

$A$ - площадь фигуры.

Следует отметить, что при определении центробежного момента инерции в величинах $a$ и $b$ должен быть учтен знак, то есть они являются по сути, координатами центра тяжести фигуры в рассматриваемых осях. При определении осевых моментов инерции эти величины подставляют по модулю (как расстояния), поскольку они все равно возвышаются до квадрата.

С помощью формул параллельного переноса возможно осуществлять переход от центральных осей к произвольным, или же наоборот - от произвольных центральных осей. Первый переход осуществляется со знаком "+". Второй переход осуществляется со знаком " - ".

Примеры использования формул перехода между параллельными осями

Прямоугольное сечение

Определим центральные моменты инерции прямоугольника при известных моментах инерции относительно осей $Z$ и $Y$.

${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{3}$; ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{3}$.

Аналогично ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{{12}}$.

Треугольное сечение

Определим центральные моменты инерции треугольника при известном моменте инерции относительно основы ${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{{12}}$.

Относительно центральной оси ${Y_c}$ треугольник имеет другую конфигурацию, поэтому рассмотрим следующее. Момент инерции всей фигуры относительно оси ${Y_c}$ равен сумме момента инерции треугольника $ABD$ относительно оси ${Y_c}$ и момента инерции треугольника $CBD$ относительно оси ${Y_c}$, то есть

Определение момента инерции составного сечения

Составленным считаем сечение, состоит из отдельных элементов, геометрические характеристики которых известны. Площадь, статический момент и моменты инерции составной фигуры равны сумме соответствующих характеристик их составляющих. Если составлен сечение можно образовать путем вырезания одной фигуры из другой, геометрические характеристики вырезанной фигуры вычитаются. Например, моменты инерции составной фигуры, показанной на рис. будут определяться так

$I_z^{} = \frac{{120 \cdot {{22}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \frac{{50 \cdot {{16}^3}}}{{12}} = 72\,300$см 4 .

$I_y^{} = \frac{{22 \cdot {{120}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \left({\frac{{16 \cdot {{50}^3}}}{{12}} + 50 \cdot 16 \cdot {{29}^2}} \right) = 1\,490\,000$см 4