Определить модуль количества движения механической системы. Изменение количества движения механической системы. Закон сохранения кин-ого момента
и механической системы
Количество
движения материальной точки – это
векторная мера механического движения,
равная произведению массы точки на ее
скорость,
.
Единица измерения количества движения
в системе СИ –
.
Количество движения механической
системы равно сумме количеств движений
всех материальных точек, образующих
систему:
.
(5.2)
Преобразуем полученную формулу
.
Согласно формуле (4.2)
,
поэтому
.
Таким образом, количество движения механической системы равно произведению ее массы на скорость центра масс:
.
(5.3)
Поскольку количество движения системы определяется движением только одной ее точки (центра масс), оно не может быть полной характеристикой движения системы. Действительно, при любом движении системы, когда ее центр масс остается неподвижным, количество движения системы равно нулю. Например, это имеет место при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.
Введем
систему отсчетаCxyz
,
имеющую начало в центре масс механической
системыС
и движущуюся поступательно
относительно инерциальной системы
(рис. 5.1). Тогда движение каждой точки
можно рассматривать как сложное:
переносное движение вместе с осямиCxyz
и движение относительно этих осей. В
силу поступательности движения осейCxyz
переносная скорость
каждой точки равна скорости центра масс
системы, и количество движения системы,
определяемое по формуле (5.3) , характеризует
только ее поступательное переносное
движение.
5.3. Импульс силы
Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени используют величину, называемую импульсом силы . Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:
.
(5.4)
Единица
измерения импульса силы в системе СИ
равна
,
т.е. размерности импульса силы и количества
движения одинаковы.
Импульс силы
за конечный промежуток времени
равен определенному интегралу от
элементарного импульса:
.
(5.5)
Импульс постоянной силы равен произведению силы на время ее действия:
.
(5.6)
В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям на координатные оси:
.
(5.7)
5.4. Теорема об изменении количества движения
материальной точки
В основном
уравнении динамики (1.2) масса материальной
точки – величина постоянная, ее ускорение
,
что дает возможность записать это
уравнение в виде:
.
(5.8)
Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме (главному вектору) действующих на точку сил .
Теперь получим интегральную форму этой теоремы. Из соотношения (5.8) следует, что
.
Проинтегрируем
обе части равенства в пределах,
соответствующих моментам времени
и
,
.
(5.9)
Интегралы в правой части представляют собой импульсы сил, действующих на точку, поэтому после интегрирования левой части получим
.
(5.10)
Таким образом, доказана теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме:Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на точку сил за тот же промежуток времени .
Векторному уравнению (5.10) соответствует система трех уравнений в проекциях на координатные оси:
;
;
(5.11)
.
Пример 1.
Тело движется
поступательно по наклонной плоскости,
образующей угол α с горизонтом. В
начальный момент времени оно имело
скорость
,
направленную вверх по наклонной плоскости
(рис. 5.2).
Через какое время скорость тела станет равной нулю, если коэффициент трения равен f ?
Примем
поступательно движущееся тело за
материальную точку и рассмотрим
действующие на него силы. Это сила
тяжести
,
нормальная реакция плоскости
и сила трения
.
Направим осьx
вдоль
наклонной плоскости вверх и запишем
1-е уравнение системы (5.11)
где проекции
количеств движения
,
а проекции импульсов постоянных сил
,
и
равны произведениям проекций сил на
время движения:
Так
как ускорение тела направлено вдоль
наклонной плоскости, сумма проекций на
осьy
всех действующих
на тело сил равна нулю:
,
откуда следует, что
.
Найдем силу трения
и из уравнения (5.12) получим
откуда определим время движения тела
.
Например:
1. Определить количество движения механической системы:
Т.к. (центр масс не движется).
б) Теорема об изменении количества движения (дифференциальный вид).
Выведем ее из теоремы о движении центра масс.
Для ν -той материальной точки по второму закону Ньютона:
Так как. масса постоянна, то ее можно внести под знак производной. Получим:
Просуммировав по всем материальным точкам, получим:
Учтем, что сумма всех внутренних сил механической системы - по третьему закону Ньютона.
Получим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальном виде:
Формулировка: первая производная по времени от количества движения механической системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему, т.е. равна главному вектору всех внешних сил механической системы.
Эти формулы математически показывают, что только внешние силы влияют на движение центра масс и изменение количества движения механической системы, внутренние силы изменить количество движения или движение центра масс не могут.
в) Теорема импульсов (интегральный вид) теоремы об изменении количества движения.
Определение:
1) элементарным импульсом силы называется произведение этой силы на дифференциал времени:
2) импульсом силы за какой-либо промежуток времени называется интеграл вида:
Теорема импульсов: выводится из теоремы об изменении количества движения.
Разделяя переменные, получим:
Интегрируем:
Учитывая, что правая часть уравнения представляет собой сумму импульсов всех внешних сил, получим:
Формулировка: Изменение количества движения за какой – либо промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, приложенных к системе в этот промежуток времени.
Эта формулаозначает, что импульс силы и количество движения измеряется в одних и тех же размерностях единиц.
; , поэтому количество движения в настоящее время называют импульсом.
г) Закон сохранения количества движения:
1) Если, , то из теоремы следует, что: , .
Формулировка: если векторная сумма всех внешних сил системы равна нулю, то количество движения системы остается постоянным по величине и направлению.
2) Если, , то , .
Формулировка: если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил системы, на какую – либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось остается постоянной.
4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Рассматриваемые вопросы:
Общие теоремы динамики механической системы. Теорема об изменении кинетического момента. Момент количества движения материальной точки относительно полюса: алгебраическое значение, направление вектора. Момент количества движения материальной точки относительно оси. Момент количества движения относительно начала координат. Кинетический момент механической системы относительно точки и оси. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента. Закон сохранения кинетического момента.
4.1 Момент количества движения материальной точки относительно центра (точки, полюса).
а) Определение: моментом количества движения материальной точки относительно какого-либо центра называется векторное произведение радиус – вектора этой точки на её количества движения.
б) Направление: момент количества движения материальной точки направлен перпендикулярно плоскости траектории движения точки таким образом, чтобы с конца векторного момента можно было видеть направление скорости по отношению к моментной точке против часовой стрелки.
в) Алгебраическое значение момента количества движения точки.
Модуль момента количества движения материальной точки:
Алгебраическое значение – это произведение количества движения материальной точки на плечо, взятое со знаком плюс или минус.
Значение момента положительное, если он направлен относительно моментной точки против часовой стрелки.
Значение момента отрицательное, если он направлен относительно моментной точки по часовой стрелке.
Значение момента равно нулю, если моментная точка лежит на линии скорости.
4.2 Момент количества движения относительно оси.
а) Определение: моментом количества движения точки относительно оси называется проекция на эту ось векторного момента количества движения, вычисленного относительно какой – либо точки, лежащей на этой оси.
Алгебраическое значение аналогично:
Значение момента количества движения положительное, если он направлен против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси.
Значение момента количества движения отрицательное, если он направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси.
Значение момента количества движения равно нулю, если скорость направлена параллельно оси или пересекает эту ось.
Проекции на оси координат:
4.3 Кинетический момент механической системы относительно полюса и оси.
а) Кинетический момент механической системы относительно полюса.
Кинетическим моментом механической системы относительно центра (полюса, точки) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек системы относительно этого же центра:
б) Кинетический момент механической системы относительно оси:
Кинетическим моментом механической системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количества движения всех его точек относительно этой же оси:
Кинетический момент механической системы относительно оси Z:
Таким образом - кинетический момент механической системы это главный момент количества движения системы.
4.4 Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения.
Рассмотрим тело вращения. Рассмотрим движение материальной точки, масса которой m ν , а линейная скорость .
По определению кинетического момента относительно полюса:
Кинетический момент направлен перпендикулярно радиус-вектору ().
Спроектировав кинетический момент на ось , получим:
Учитывая, что при вращательном движении линейная скорость определяется по формуле Эйлера, получим:
Модуль скорости точки при вращательном движении:
где , сos (90 0 - ) =sin
Подставив (98) в формулу (96), получим:
Кинетический момент относительно оси вращения определяется по формуле:
4.5 Вывод теоремы об изменении кинетического момента.
По второму закону Ньютона для ν -той точки:
Умножив обе части равенства почленно, векторно на , получим:
Преобразуем:
Суммируя по ν т.е. по всем материальным точкам механической системы получим:
Слева под знаком суммы получаем кинетический момент механической системы относительно полюса О:
Справа под знаком суммы получаем сумму моментов всех внешних и внутренних сил механической системы относительно полюса О:
По третьему закону Ньютона сумма моментов всех внутренних сил относительно полюса О равна нулю,
Тогда получим теорему в виде:
Формулировка: первая производная от кинетического момента по времени, относительно какого – либо центра равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно этого же центра.
Теорема об изменении кинетического момента относительно оси вращения:
Формулировка: первая производная по времени от кинетического момента, относительно какой – либо оси равна алгебраической сумме моментов всех внешних сил системы относительно этой же оси.
Кинетический момент для твердого тела относительно оси вращения:
.2) Если , то .
Формулировка : если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил системы, относительно какой – либо оси равна нулю, то кинетический момент относительно этой оси остается постоянным.
Например:
При вращении фигуриста на льду все действующие силы параллельны оси Z , а это значит, что кинетический момент относительно оси Z равен нулю.
Для увеличения угловой скорости фигурист прижимает руки к туловищу, тем самым уменьшая момент инерции тела относительно оси вращения.
Для уменьшения угловой скорости фигурист расставляет руки в стороны, тем самым увеличивая момент инерции тела относительно оси вращения.
5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И
Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах.
Преобразуем уравнение (теорема о движении цента масс механической системы)
следующим образом:
;
Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная от количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему .
В проекциях на декартовы оси координат:
; 
; 
.
Беря интегралы от обеих частей последних уравнений по времени, получим теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему .
.
Или в проекциях на декартовы оси координат:
; 
; 
.
Следствия из теоремы (законы сохранения количества движения)
Закон сохранения количества движения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил. Внутренние силы могут быть любыми, так как они не влияют на изменения количества движения.
Возможны два случая:
1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю , то количество движения системы постоянно по величине и направлению
2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую либо координатную ось и/или и/или , то проекция количества движения на эти же оси является величиной постоянной, т.е. и/или и/или соответственно.
Аналогичные записи можно сделать и для материальной точки и для материальной точки.
Условие задачи . Из орудия, масса которого М , вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m со скоростью v . Найти скорость V орудия после выстрела.
Решение . Все внешние силы, действующие на механическую систему орудие-снаряд, вертикальны. Значит, на основании следствия из теоремы об изменении количества движения системы, имеем: .
Количество движения механической системы до выстрела:
Количество движения механической системы после выстрела:
.
Приравнивая правые части выражений, получим, что
.
Знак «-» в полученной формуле указывает на то, что после выстрела орудие откатится в направлении, противоположном оси Ox .
ПРИМЕР 2. Струя жидкости плотностью вытекает со скоростью V из трубы с площадью поперечного сечения F и ударяется под углом о вертикальную стенку. Определить давление жидкости на стену.
РЕШЕНИЕ. Применим теорему об изменении количества движения в интегральной форме к объему жидкости массой m ударяющемуся о стену за некоторый промежуток времени t .
УРАВНЕНИЕ МЕЩЕРСКОГО
(основное уравнение динамики тела переменной массы)
В современной технике возникают случаи, когда масса точки и системы не остается постоянной в процессе движения, а изменяется. Так, например, при полете космических ракет, вследствие выбрасывания продуктов сгорания и отдельных ненужных частей ракет, изменение массы достигает 90-95% общей начальной величины. Но не только космическая техника может быть примером динамики движения переменной массы. В текстильной промышленности происходит значительное изменения массы различных веретен, шпуль, рулонов при современных скоростях работы станков и машин.
Рассмотрим главные особенности, связанные с изменением массы, на примере поступательного движения тела переменной массы. К телу переменной массы нельзя непосредственно применить основной закон динамики. Поэтому получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы, применяя теорему об изменении количества движения системы.
Пусть точка массой m+dm движется со скоростью . Затем происходит отрыв от точки некоторой частицы массой dm движущейся со скоростью .
Количество движения тела до отрыва частицы:
Количество движения системы, состоящей из тела и оторвавшейся частицы, после ее отрыва:
Тогда изменение количества движения:
Исходя из теоремы об изменении количества движения системы:
Обозначим величину - относительная скорость частицы:
Обозначим 
Величину R называют реактивной силой. Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленная выбросом газа из сопла.
Окончательно получим
-
Данная формула выражает основное уравнение динамики тела переменной массы (формула Мещерского). Из последней формулы следует, что дифференциальные уравнения движения точки переменной массы имеют такой же вид, как и для точки постоянной массы, кроме приложенных к точке дополнительно реактивной силы, обусловленной изменением массы.
Основное уравнение динамики тела переменной массы свидетельствует о том, что ускорение этого тела формируется не только за счет внешних сил, но и за счет реактивной силы.
Реактивная сила – это сила, родственная той, которую ощущает стреляющий человек - при стрельбе из пистолета она ощущается кистью руки; при стрельбе из винтовки воспринимается плечом.
Первая формула Циолковского (для одноступенчатой ракеты)
Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно под действием только одной реактивной силы. Так как для многих современных реактивных двигателей 
, где - максимально допускаемая конструкцией двигателя реактивная сила (тяга двигателя); - сила тяжести, действующая на двигатель, находящийся на земной поверхности. Т.е. изложенное позволяет составляющей в уравнении Мещерского пренебречь и к дальнейшему анализу принять это уравнение в форме: ,
Обозначим:
Запас топлива (при жидкостных реактивных двигателях - сухая масса ракеты (остающаяся её масса после выгорания всего топлива);
Масса отделившихся от ракеты частиц; рассматривается как переменная величина, изменяющаяся от до .
Запишем уравнение прямолинейного движения точки переменной массы в следующем виде вид
.
Так как формула для определения переменной массы ракеты
Следовательно, уравнения движения точки 
Беря интегралы от обеих частей получим
где - характеристическая скорость – это скорость, которую приобретает ракета под действием тяги после извержения из ракеты всех частиц (при жидкостных реактивных двигателях – после выгорания всего топлива).
Вынесенная за знак интеграла (что можно делать на основании известной из высшей математики теоремы о среднем) - это средняя скорость извергаемых из ракеты частиц.
Количество движения системы, как векторная величина, определяется формулами (4.12) и (4.13).
Теорема. Производная от количества движения системы по времени равна геометрической сумме всех действующих на нее внешних сил.
В проекциях декартовые оси получим скалярные уравнения.
Можно записать векторное
(4.28)
и скалярные уравнения
Которые выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов за тот же промежуток времени. При решении задач чаще используются уравнения (4.27)
Закон сохранения количества движения
Теорема об изменении кинетического момента
Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна векторному моменту, действующей на точку силы относительно того же центра.
или 
(4.30)
Сравнивая (4.23) и (4.30), видим, что моменты векторов и связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы и (рис. 4.1). Если спроектировать равенство на ось , проходящую через центр О, то получим
(4.31)
Это равенство выражает теорему момента количества движения точки относительно оси.
|
(4.32)
Если спроектировать выражение (4.32) на ось , проходящей через центр О, то получим равенство, характеризующее теорему об изменении кинетического момента относительно оси.
(4.33)
Подставляя (4.10) в равенство (4.33) можно записать дифференциальное уравнение вращающегося твердого тела (колес, осей, валов, роторов и т.д.) в трех формах.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Таким образом, теорему об изменении кинетического момента целесообразно использовать для исследования весьма распространенного в технике движения твердого тела, его вращения вокруг неподвижной оси.
Закон сохранения кинетического момента системы
1. Пусть в выражении (4.32) .
Тогда из уравнения (4.32) следует, что , т.е. если сумма моментов всех приложенных к системе вешних сил относительно данного центра равно нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра будет численно и по направлению будет постоянен.
2. Если , то . Таким образом, если сумма моментов действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет величиной постоянной.
Эти результаты выражают собой закон сохранения кинетического момента.
В случае вращающегося твердого тела из равенства (4.34) следует, что, если , то . Отсюда приходим к следующим выводам:
Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то , следовательно, и и твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.
Если система изменяема, то . При увеличении (тогда отдельные элементы системы удаляются от оси вращения) угловая скорость уменьшается, т.к. , а при уменьшении увеличивается, таким образом, в случае изменяемой системы с помощью внутренних сил можно изменить угловую скорость.
Вторая задача Д2 контрольной работы посвящена теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси.
Задача Д2
Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2м) массой кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д2,0 – Д2,9, табл. Д2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д2,0а (вид сверху).
В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой кг по закону , где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Определить, пренебрегая массой вала, зависимость т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.
На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Указания.
Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза 
. Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д2.
При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца z), как это сделано на рис. Д2,0,а – Д2,9, а.
Момент инерции пластины с массой m относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс, равен: для прямоугольной пластины со сторонами и
;
Для круглой пластины радиуса R
| Номер условия | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример Д2 . Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами 2l и l), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угловой скоростью (рис. Д2а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противоположно ; одновременно груз D массой , находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону s = CD = F(t).
Дано: m 1 = 16 кг, т 2 = 10 кг, l = 0,5 м, = 2 , s = 0,4t 2 (s - в метрах, t - в секундах), М = kt, где k =6 Нм/с. Определить: - закон изменения угловой скорости платформы.
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D. Для определения w применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:
(1)
Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции и вращающий момент M. Так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим 
и уравнение (1) примет такой вид.
