Условие устойчивости систем автоматического управления. Определение устойчивости систем автоматического управления промышленными роботами. Для всех систем должны выполняться требования

Устойчивость САУ

Нули и полюсы передаточной функции

Корни полинома в числителе передаточной функции называются ну­лями , а корни полинома в знаменателе – полюсами передаточной функции. Полюсы одновременно корни характеристического уравнения , или характеристические числа .

Если корни числителя и знаменателя передаточной функции ле­жат в левой полуплоскости (при этом корни числителя и знаменателя лежат в верхней полуплоскости), то звено называется минимально-фазо­вым .

Соответствие левой полуплоскости корней р верхней полуплоскости корней (рис.2.2.1) объясняется тем, что , или , т.е. вектор получается из вектора поворотом на угол по часовой стрелке. В результате все векторы из левой полуплоскости приходят в векторы в верхней полуплоскости.

Неминимально-фазовые и неустойчивые звенья

Расмотренные выше звенья позиционного и дифферинцирующего типов относятся к устойчивым звеньям, или к звеньям с самовыравниванием.

Под самовыравниванием понимается способность звена самопро-извольно приходить к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Обычно термин самовыравнивание применяется для звеньев, являющихся объектами регулирования.

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К ним, например, относятся звенья интегрируюшего типа.

Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (знаменателе передаточной функции, приравненом нулю), в результате чего звено будет относиться к категории неустойчивых звеньев .

Например, в случае дифференциального уравнения , имеем передаточная функция и характеристическое уравнение с положительным вещественным корнем . Это звено имеет одинаковую амплитудно-частотную характеристику с инерционным звеном с передаточной функцией. Но фазо-частотные характеристики этих звеньев совпадают. Для инерционного звена имеем . Для звена с передаточной функцией имеем

т.е. большее по абсолютной величине значение.

В связи с этим неустойчивые звенья относятся к группе не минимально-фазовых звеньев .

К не минимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (соответствующем правой части дифференци­ального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью.

Например, звено с передаточной функцией относится к группе не минимально–фазовых звеньев. Модуль частотной передаточной функции совпадает с модулем частотной передаточной функции звена, имеющего переда­точную функцию . Но фазовый сдвиг первого звена по абсо­лютной величине больше:

Минимально-фазовые звенья имеют меньшие фазовые сдвиги по сравнению с соответствующими звеньями, имеющими такие же амплитудные частотные характеристики.

Говорят, что система устойчива или обладает самовыравниванием, если после снятия внешнего возмущения она возвращается в исходное состояние.

Так как движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, то мате­матическое определение устойчивой системы можно cфоpмулировать следующим образом:

Система называется асимптотически устойчивой, если выполняется условие (2.9.1)

Из анализа общего решения (1.2.10) вытекает необходимое и до­статочное условие устойчивости:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т.е. Rep i , I = 1…n . (2.9.2)

Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис.2.9.1а. При выполнении не­обходимого и достаточн

Рис.8.12. Плоскость корней

характеристического

уравнения A (p ) = 0

ОУ- область устйчивости

Ого условия (2.9.2) все корни лежат слева от мнимой оси, т.е. в области устойчивости.

Поэтому условие (2.9.2) можно сформулировать следующим обра­зом.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскос­ти.

Строгое общее опреде­ление устойчивости, методы исследования устойчивости нелинейных систем и возможность распространения заключения об устойчивости линеаризованной системы на исходную нелинейную систему даны рус­ским ученым А.М.Ляпуновым.

На практике устойчивость часто определяется косвенным пу­тем, с помощью так называемых критериев устойчивости без непос­редственного нахождения корней характеристического уравнения. К ним относятся алгебраические критерии: условие Стодолы, критерии Гурвица, Михайлова, а также частотный критерий Найквиста. При этом критерий Найквиста позволяет определять устойчивость замкнутой системы по АФХ или по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы.

Условие Стодолы

Условие получено словацким математиком Стодолой в конце 19-го столетия. Оно интересно в методическом плане для понимания условий устойчивости системы.

Запишем характеристическое уравнение системы в виде

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

По Стодоле для устойчивости необходимо, но недостаточно, чтобы пpи a 0 > 0 все остальные коэффициенты были строго положительны, т.е.

a 1 > 0 ,..., a n > 0.

Необходимость можно сформировать так:

Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения имеют , т.е. являются левыми.

Доказательство необходимости элементарное. По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

Пусть , т.е действительное число, а – комплексно-сопряженные корни. Тогда

Отсюда видно, что в случае полинома с действительными коэффициентами комплексные корни попарно-сопряженные. При этом, если , , то имеем произведение многочленов с положительными коэффициентами, которое дает многочлен только с положительными коэффициентами.

Недостаточность условия Стодолы заключается в том, что условие не гарантирует, что все . В этом можно убедиться на конкретном примере, рассмотрев полином степени .

Заметим, что в случае условие Стодолы одновременно необходимо и достаточно. Из вытекает . Если , то и , чтобы .

Для из анализа формулы корней квадратного уравнения также вытекает достаточность условия.

Из условия Стодолы вытекает два важных следствия.

1. Если условие выполняется, а система неустойчива, то переходный процесс имеет колебательный характер. Это следует из того, что уравнение с положительными коэффициентами не может иметь действительных положительных корней. По определению корень – это число, обращающее характеристический полином в нуль. Никакое положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами, то есть быть его корнем.

2. Положительность коэффициентов характеристического полинома (соответственно выполнение условия Стодолы) обеспечивается в случае отрицательной обратной связи, т.е. в случае нечетного числа инверсий сигнала по замкнутому контуру. В этом случае характеристический полином. В противном случае имели и после приведения подобных некоторые коэффициенты могли оказаться отрицательными.

Заметим, что отрицательная обратная связь не исключает возможности невыполнения условия Стодолы. Например, если , а , то в случае единичной отрицательной обратной связи . В данном полиноме коэффициент при равен нулю. Отрицательных коэффициентов нет, но, тем не менее, условие не выполняется, так как оно требует строго выполнения неравенств.

Это подтверждает и следующий пример.

Пример 2.9.1. Применить условие Стодолы к схеме рис. 2.9.2.

Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрица­тельной обратной связи системы равна и характеристичес­кое уравнение замкнутой системы есть сумма числителя и знаменателя, т. е.

D(p) = p 2 + k 1 k 2 = 0.

Так как отсутствует член с р в первой степени (a 1 = 0), то условие Стодолы не выполняется и система неустойчива. Данная система структурно неустойчива, так как ни при каких значениях параметров k 1 и k 2 не может быть устойчивой.

Чтобы сделать систему устойчивой, нужно ввести дополнительную связь или корректирующее звено, т.е. изменить структуру системы. Покажем это на примерах. На рис. 2.9.3. звено прямой цепи представлено последовательно включенными звеньями с передаточными функциями и . Параллельно первому введении дополнительная связь.

П
ередаточная функция разомкнутой по единичной отрицательной связи системы и характеристическое уравнение замкнутой системы соответственно равна

,

Теперь условие Стодолы выполняется при любых . Так как в случае уравнения второй степени оно не только необходимо, но и достаточно, то система устойчива при любых положительных коэффициентах усиления .

На рис.2.9.4 в схему введено последовательно форсирующее звено. Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной связи системы в этом случае равна и характеристическое уравнение замкнутой системы равно

Аналогично предыдущему система устойчива при любых положительных .

Критерий устойчивости Раусса-Гурвица

Математики Раусс (Англия) и Гурвиц (Швейцария) разработали этот критерий приблизительно в одно время. Отличие заключалось в алгоритме вычислений. Мы познакомимся с критерием в формулировке Гурвица.

По Гурвицу для устойчивости необходимо и достаточно, что­бы при a 0 > 0 определитель Гурвица  =  n и все его главные миноры  1 ,  2 ,...,  n -1 были строго положительны, т.е.

(2.9.4)

Cтруктура определителя Гурвица легко запоминается, если учесть, что по главной диагонали расположены коэффициенты а 1 ,… ,а n , в строчках расположены коэффициенты через один, если они исчерпаны, то свободные места заполняются нулями.

Пример 2.9.2 . Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему с единичной отрицательной обратной связью, в прямой цепи которой включены три инерционных звена и, следовательно, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (2.9.5)

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как сумму числителя и знаменателя (2.9.5):

Следовательно,

Определитель Гурвица и его миноры имеют вид

с учетом a 0 > 0 из строгой положительности определителя Гурвица и миноров (2.9.6) вытекает условие Стодолы и, кроме того, условие a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, что после подстановки значений коэффициентов дает

(Т 1 Т 2 + Т 1 Т 3 +Т 2 Т 3 )(Т 1 +Т 2 +Т 3 ) > Т 1 Т 2 Т 3 (1+ k ) . (2.9.7)

Отсюда видно, что при увеличении k система из устойчивой может превратиться в неустойчивую, так как неравенство (2.9.7) переста­нет выполняться.

Передаточная функция системы по ошибке равна

Согласно теореме о конечном значении оригинала установившаяся ошибка отработки единичного ступенчатого сигнала будет равна 1/(1+k ). Следовательно, обнаруживается противоречие между ус­тойчивостью и точностью. Для уменьшения ошибки надо увеличивать k , но это приводит к потере устойчивости.

Принцип аргумента и критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова основан на так называемом принципе аргумента.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы, который по теореме Безу можно представить в виде

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…+ a n = a 0 (p - p 1 )…(p - p n ).

Сделаем подстановку p = j 

D(j  ) = a 0 (j  ) n + a 1 (j  ) n- 1 +…+ a n = a 0 (j  - p 1 )…(j  - p n ) = X( )+jY( ).

Для конкретного значения  имеет точку на комплексной плоскости, задаваемую параметрическими уравнениями

Е
сли изменять  в диапазоне от - до , то будет прочерчена кривая Михайлова, т. е. годограф. Изучим поворот вектора D(j  ) при изменении  от - до , т. е. найдем приращение аргумента вектора (аргумент равен сумме для произведения векторов): .

При  = -  разностный вектор, начало которого в точке р i , а конец на мнимой оси, направлен вертикально вниз. По мере роста  конец вектора скользит вдоль мнимой оси, а при  =  вектор направлен вертикально вверх. Если корень левый (рис. 2.9.19а), то  arg = +  , а если корень правый, то  arg = -  .

Если характеристическое уравнение имеет m правых корней (соответственно n - m левых), то .

Это и есть принцип аргумента. При выделении действительной части Х( ) и мнимой Y( ) мы отнесли к Х( ) все слагаемые, содержащие j  в четной степени, а к Y( ) – в нечетной степени. Поэтому кривая Михайлова симметрична относительно действительной оси (Х( ) – четная, Y( ) – нечетная функция). В результате, если изменять  от 0 до +, то приращение аргумента будет в два раза меньше. В связи с этим окончательно принцип аргумента формулируется следующим образом . (2.9.29)

Если система устойчива, т.е. m = 0, то получаем критерий устойчивости Михайлова.

По Михайлову для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы

, (2.9.30)

то есть кривая Михайлова должна последовательно проходить через n

Очевидно, что для применения критерия Михайлова не требуется точного и детального построения кривой. Важно установить, каким образом она огибает начало координат и не нарушается ли последовательность прохождения n четвертей против часовой стрелки.

Пример 2.9.6. Применить критерий Михайлова для проверки устойчи­вости системы, показанной на рис.2.9.20.

Характеристический полином замкнутой системы при k 1 k 2 > 0 соответствует устойчивой системе, так условие Сто­долы выполняется, а для n = 1 оно достаточно. Можно непосред­ственно найти корень р 1 = - k 1 k 2 и убедиться, что необходимое и достаточное условие устойчивости выполнено. Поэтому применение критерия Михайлова носит иллюстративный характер. Полагая p = j  , получим

D (j  ) = X ( )+ jY ( ),

где Х( ) = ; Y ( ) =  . (2.9.31)

По параметрическим уравнениям (2.9.31) построен годограф Ми­хайлова на рис.2.9.21, из которого видно, что при изменении  от 0 до  вектор D (j  ) поворачивается против часовой стрел­ки на + /2 , т.е. система устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста

Как уже было отмечено, кри­терий Найквиста занимает особое положение среди критериев устойчивости. Это частотный критерий, позволяющий определить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам ра­зомкнутой. При этом предполагается, что система разомкнута по цепи единичной отрицательной обратной связи (рис.2.9.22).

Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что частотные характеристики разомкнутой системы могут быть получены экспери­ментально.

Вывод критерия основан на использовании принципа аргумента. Передаточная функция разомкнутой системы (по цепи единичной от­рицательной обратной связи на рис.2.9.22) равна

Рассмотрим . (2.9.32)

В случае реальной системы с ограниченной полосой про­пускания степень знаменателя передаточной функции разомкнутой системы п больше степени числителя , т.е. n > . Поэтому степени характеристических полиномов разомкнутой системы и замкнутой системы одинаковы и равны n . Переход от АФХ разомкнутой системы к АФХ по (2.9.32) означает увеличение вещественной части на 1, т.е. перенос начала координат в точку (-1, 0), как показано на рис.2.9.23.

Предположим теперь, что замкнутая система устойчива, а характеристическое уравнение разомкнутой системы А(р) = 0 имеет m правых корней. Тогда в соответствии с принципом аргумента (2.9.29) получим необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы по Найквисту

Т.е. для устойчивости замкнутой системы вектор W 1 (j  ) дол­жен делать m /2 полных оборотов против часовой стрелки, что равносильно повороту вектора W pa з (j  ) относительно крити­ческой точки (-1,0).

На практике, как правило, разомкнутая система устойчива, т.е. m = 0. В этом случае приращение аргумента равно нулю, т.е. АФХ разомкнутой системы не должна охватывать критическую точку (-1,0).

Критерий Найквиста для ЛАХ и ЛФХ

На практике чаще используются логарифмические характеристики разомкнутой системы. Поэтому целесообразно сформулировать критерий Найквиста для определения устойчивости замкнутой системы по ним. Количество оборотов АФХ относитель­но критической точки (-1,0) и охват или не охват ее

зависят от количества положительных и отрицательных пересечений интервала (-,-1) действительной оси и соответственно пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L ( )  0 . На рис.2.9.24 изображены АФХ и показаны знаки пересечений отрезка (-,-1) действительной оси.

Спра­ведливо правило

где - число положительных и отрицательных пересечений.

По АФХ рис.2.9.24в построены ЛАХ и ЛФХ, изображенные на рис.2.9.25, причем на ЛФХ отмечены положительные и отрицательные пересечения. На отрезке (-,-1) модуль больше единицы, чему соответствует L ( ) > 0. Поэтому Критерий Найквиста:

Для устойчивости замкнутой системы ЛФХ разомкнутой системы в области, где L ( ) > 0, должна иметь положительных пересечений линии -180° на больше, чем отрицательных.

Если разомкнутая система устойчива, то число положительных и отрицательных пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L ( ) > 0 для устойчивости замкнутой системы должно быть одинаковым или пересечений не должно быть.

Критерий Найквиста для астатической системы

Особо необходимо рассмотреть случай астатической системы порядка r с передаточной функцией разомкнутой системы, равной

.

В этом случае при 0, т. е. амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы уходит в бесконечность. Раньше мы строили АФХ при изменении  от - до  и это была непрерывная кривая, замкнутая при  =  0. Теперь она также замыкается при  = 0, но на бесконечности и при этом не ясно, с какой стороны действительной оси (на бесконечности слева или справа?).

Рис.2.9.19в иллюстрирует, что в этом случае возникает неопределенность в подсчете приращения аргумента разностного вектора. Он теперь все время расположен вдоль мнимой оси (совпадает с j  ). Только при переходе через нуль изменяется направление (при этом поворот вектора против часовой стрелки на  или по часовой стрелке на -?), Для определенности считаем условно, что корень левый и огибание начала координат происходит по дуге бесконечно малого радиуса против часовой стрелки (поворот на + ). Соответственно в окрестности  = 0 представим в виде

,

где  = +  при изменении  от – 0 до + 0. Последнее выражение показывает, что при таком раскрытии неопределенности АФХ поворачивается при изменении  от – 0 до + 0 на угол - по часовой стрелке. Соответственно построенную АФХ надо при  = 0 дополнить дугой бесконечности радиуса на угол , т. е. против часовой стрелки до положительной действительной полуоси.

Запасы устойчивости по модулю и фазе

Чтобы гарантировать устойчивость при изменениях параметров системы вводятся запасы устойчивости по модулю и фазе, определяемые следующим образом.

Запас устойчивости по модулю показывает во сколько раз или на сколько децибел допустимо увеличивать или уменьшать коэффи­циент усиления, чтобы система оставалась устойчивой (оказывалась на границе устойчивости). Он определяется как min(L 3 , L 4) на рис.2.9.25. Действительно, если не менять ЛФХ, то при подъеме ЛАХ на L 4 частота среза  ср переместится в точку  4 и система окажется на границе устойчивости. Если опустить ЛАХ на L 3 , то частота среза сместится влево в точку  3 и система также окажется на границе устойчивости. Если опустить ЛАХ еще ниже, то в области L ( ) > 0 останется только отрицательное пересечение ЛФХ линии -180°, т.е. по критерию Найквиста система станет неустойчивой.

Запас устойчивости по фазе показывает, на сколько допустимо увеличить фазовый сдвиг при неизменном коэффициенте усиления, чтобы система оставалась устойчивой (оказалась на границе устойчивости). Он определяется как дополнение  ( ср) до -180°.

На практике L  12-20 дБ,   20-30°.

Понятие об устойчивости

Понятие устойчивости системы управления связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное или близкое к нему установившееся состояние после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Из данного определения следует, что устойчивость связана с характером переходных процессов и состоянием системы после окончания переходного процесса, т.е. является основной динамической характеристикой системы. Поэтому анализ устойчивости САУ является основной проблемой в теории автоматического управления.

В зависимости от характера переходного процесса различают три основных случая поведения системы после приложения возмущающего воздействия:

1) система не может восстановить равновесного состояния, значение управляемой переменной все больше отклоняется от заданного (рисунок 6.1, а); такой процесс называется расходящимся, а система – неустойчивой;

2) система возвращается к равновесному состоянию, значение управляемой переменной отличается от заданного на величину статической погрешности системы; такой переходной процесс будет сходящимся, а система - устойчивой (рисунок 6.1, б);

3) система характеризуется установившимся периодическим движением; такой процесс называется незатухающим колебательным, а система будет находится на границе асимптотической устойчивости (рисунок 6.1, в).

Рисунок 6.1 Поведение системы после приложения возмущающего воздействия

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы и чем она определяется. Пусть динамика линейной системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

Решение такого линейного неоднородного уравнения в общем случае из двух составляющих:

, (6.2)

y уст (t) - частное решение неоднородного уравнения (6.1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; такие режимы нами были рассмотрены в предыдущем параграфе;

y п (t) - общее решение однородного уравнения , которое описывает переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.

Очевидно, что система будет устойчива, если переходные процессы y п (t) , вызванные любыми возмущениями, будут затухающими, т.е. с течением времени y п (t) будет стремиться к нулю (рисунок 6.1, б).

Решение y п (t) однородного дифференциального уравнения имеет вид:

, (6.3)

C i - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями и возмущениями;

l i - корни характеристического уравнения:

Таким образом, переходный процесс y п (t) представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом корней l i характеристического уравнения (6.4).

В общем случае корни характеристического уравнения являются комплексными, образуя пары сопряженных корней:

где a i может быть как положительной, так и отрицательной величиной, причем корень вещественный, если b j =0 и мнимый, если a i =0 .

Каждая пара таких корней определяет составляющую переходного процесса, равную:

и определяются через и .

Нетрудно увидеть, что эта составляющая представляет собой синусоиду: с затухающими колебаниями, если a i <0 ; с расходящимися колебаниями, если a i >0 ; с незатухающими синусоидальными колебаниями при a i =0 .

Таким образом, условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность действительной части корня характеристического уравнения системы.

Если b=0 , то процесс определяется только вещественной частью корня a и является апериодическим. В общем случае, переходный процесс в системе состоит из колебательной и апериодической составляющих. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчива. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит и всего переходного процесса в целом, является отрицательность действительной части всех корней характеристического уравнения системы, т.е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы.

Наиболее наглядно вышеизложенное можно проиллюстрировать, если изобразить корни характеристического уравнения на комплексной плоскости (рисунок 6.2). В этом случае найденное выше условие устойчивости можно сформулировать так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения системы, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости, или, говоря короче, все корни должны быть «левыми». Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Рисунок 6.2 Изображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

Итак, на первый взгляд задача исследования устойчивости не представляет затруднений, так как достаточно определить расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Однако определение корней характеристического уравнения, имеющего порядок выше третьего, сопряжено со значительными трудностями, в связи с чем и возникает проблема исследования устойчивости систем, динамические процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка.

Частичное решение этой проблемы найдено косвенным путем. Разработан ряд признаков, по которым можно судить о знаках действительных частей корней характеристического уравнения системы и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. При этом обычно встречаются две постановки задачи исследования устойчивости системы:

1)заданы все параметры системы и необходимо определить, устойчива ли система при этих значениях параметров;

2)необходимо определить значения некоторых параметров (при заданных остальных), при которых система устойчива.

Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения или какие-либо функции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой, называется критерием устойчивости.

В этом разделе рассматриваются важнейшие характеристики качества управляемых систем. Этими характеристиками являются устойчивость систем, точность и помехоустойчивость.

Понятие устойчивости относится к ситуации, когда входные сигналы системы равны нулю, т.е. внешние воздействия отсутствуют. При этом правильно построенная система должна находиться в состоянии равновесия (покоя) или постепенно приближаться к этому состоянию. В неустойчивых системах даже при нулевых входных сигналах возникают собственные колебания и, как следствие, – недопустимо большие ошибки.

Понятие точности связано с качеством работы управляемых систем при изменяющихся входных сигналах. В правильно спроектированных системах управления величина рассогласования между заданным законом управления g(t) и выходным сигналом x(t) должна быть мала.

Наконец, для характеристики влияния помех на системы управления используют дисперсию или среднее квадратическое отклонение составляющей ошибки за счет действия помех.

Понятие устойчивости

Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных систем управления, является вопрос об их устойчивости. Линейная система называется устойчивой , если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой . Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.

Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.

Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев

Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это, предположим, что система описывается дифференциальным уравнением

или, после преобразования Лапласа,

где g(p) – входное воздействие.

Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p) 0 . Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения должно стремиться к нулю при t стремящемся к бесконечности.

Если найдены корни p1, p2, ... , pn характеристического уравнения , то решение однородного уравнения запишется в виде .

В каких же случаях система устойчива?

Предположим, что pk = ak – действительный корень.

Ему соответствует слагаемое ck. При ak < 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak > 0, то x(t) , когда t стремится к бесконечности; . Наконец, в том случае, когда ak = 0, рассматриваемое слагаемое не изменяется и при t стремящемся к бесконечности,

Допустим теперь, что – комплексный корень характеристического уравнения. Заметим, что в этом случае также будет корнем характеристического уравнения. Двум комплексно-сопряженным корням будут соответствовать слагаемые вида , .

При этом, если ak < 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak > 0 – колебания возрастающей амплитуды, а при ak = 0 -колебания постоянной амплитуды сk.

Таким образом, система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Если хотя бы один корень имеет действительную часть ak ³ 0, то система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет нулевую действительную часть, а действительные части всех остальных корней отрицательны.

Это определение хорошо иллюстрируется геометрически. Представим корни характеристического уравнения точками на комплексной плоскости (рис. 15).

Если все корни лежат в левой полуплоскости комплексного переменного, то система устойчива. Если хотя бы один корень лежит в правой полуплоскости комплексного переменного - система неустойчива. Если же корни находятся на мнимой оси и в левой полуплоскости, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему управления c одним интегрирующим звеном. В этом случае H(p) = , , а передаточная функция замкнутой системы

.

Выходной сигнал системы x(p) = W(p)g(p) или . Заметим, что характеристическое уравнение p+k=0 записывается с помощью приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы управления. В данном случае имеется один корень p1= -k < 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда . Характеристическое уравнение p2 + + k = 0. Поэтому p1,2=. Система находится на границе устойчивости. В ней существуют незатухающие колебания.

Анализ устойчивости с помощью частотных критериев

Основным недостатком рассмотренного алгебраического подхода к анализу устойчивости является то, что в сложных системах управления трудно установить связь между корнями знаменателя рk , k=1, 2, …, n, и параметрами элементарных звеньев, составляющих систему управления. Это приводит к трудностям коррекции неустойчивых систем. Для того, чтобы упростить анализ устойчивости, желательно проводить этот анализ по передаточной функции H(p) разомкнутой системы управления.

В 1932 г. американский ученый Найквист разработал эффективный метод анализа устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 г. советский ученый А.В. Михайлов обобщил метод Найквиста на замкнутые системы автоматического управления.

Критерий Найквиста основан на построении годографа передаточной функции H(jw) разомкнутой системы управления. Годографом передаточной функции H(j w ) называется кривая, прочерчиваемая концом вектора H(jw) =|H(jw)|ejj(w) на комплексной плоскости при измерении частоты w от 0 до бесконечности.

Наиболее просто формулируется критерий устойчивости Найквиста: замкнутая система управления устойчива, если годограф передаточной функции H(jw) разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку c координатами (-1, j0). На рисунках показаны примеры годографов устойчивой (рис. 16,а) и неустойчивой (рис. 16,б) систем управления.

Если годограф проходит через точку -1, то говорят, что система находится на границе устойчивости. В этом случае на некоторой частоте H(jw0)= -1 и в системе могут существовать незатухающие колебания частоты w0. В неустойчивых системах уровень сигнала x(t) будет нарастать со временем. В устойчивых - уменьшаться.

Запас устойчивости

Еще одним достоинством рассматриваемого критерия является возможность определения запаса устойчивости системы управления. Запас устойчивости характеризуют двумя показателями: запасом устойчивости по усилению и запасом устойчивости по фазе .

Запас устойчивости по усилению определяется величиной g =1/|H(jw0)|, где w0 - частота, на которой (рис. 17,а). Запас устойчивости g показывает, во сколько раз должен измениться (увеличиться) модуль передаточной функции разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Требуемый запас устойчивости зависит от того, насколько в процессе работы может возрастать коэффициент передачи системы по сравнению с расчетным.

Запас устойчивости по фазе оценивается величиной угла , где частота wсp , называемая частотой среза , определяется условием |H(jwcp)|=1 (рис. 17, б).

Величина Dj показывает, насколько должна измениться фазовая характеристика разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе обычно считается достаточным, если
|Dj| ³ 30o.

Анализ устойчивости с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик

Во многих случаях разомкнутую систему управления можно представить в виде последовательного соединения n типовых звеньев с передаточными функциями . При этом передаточная функция разомкнутой системы определяется произведением . Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика будет равна сумме ЛАХ отдельных звеньев:

.

Поскольку ЛАХ многих элементарных звеньев могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий, то ЛАХ разомкнутой системы управления также будет представлена в виде отрезков прямых линий, имеющих наклоны к оси частот, кратные 20 децибелам на декаду.

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет следующий вид

.

Такая система содержит два интегратора, форсирующее звено с передаточной функцией и апериодическое звено с передаточной функцией . Представим ЛАХ отдельных звеньев такой системы в виде графиков на рис. 18, а. Суммируя представленные графики, получим ЛАХ разомкнутой системы (рис. 18, б).

Как следует из приведенных рисунков, построение суммарной ЛАХ осуществляется достаточно просто. Необходимо лишь учитывать изменение наклона ЛАХ в точках и , соответствующих сопрягающим частотам форсирующего и апериодического звеньев.

Для проверки условий устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо в таком же логарифмическом масштабе по оси частот построить фазочастотную характеристику . Однако опыт инженерных расчетов показывает, что замкнутая САУ, как правило, устойчива и обладает запасом устойчивости, если ЛАХ разомкнутой системы вблизи часто-

ты среза имеет наклон –20 дБ/дек. При этом запас устойчивости тем больше, чем больше протяженность этого участка ЛАХ. Обычно считают, что, протяженность участка с наклоном - 20 дБ/дек должна составлять не менее 1 декады. Существуют устойчивые САУ с наклоном ЛАХ большим, чем - 20 дБ/дек, но для таких систем, как правило, очень мал запас устойчивости.

Предположим, что исследуемая САУ имеет наклон около частоты среза больший, чем - 20 дБ/дек (рис. 19)

Учитывая, что при последовательном соединении звеньев САУ их ЛАХ суммируются, нужно включить в САУ такое звено, которое обеспечит устойчивость системы. В рассматриваемом случае таким звеном может быть звено с ЛАХ, показанной на рис. 20.

Действительно, после суммирования ЛАХ системы управления (рис. 19) и дополнительного звена получим ЛАХ, имеющую постоянный наклон - 20 дБ/дек на всех частотах, в том числе и на

частоте среза. В рассматриваемом примере передаточная функция дополнительного корректирующего звена Hф(jw) =1+jwTф, причем w1 = 1/Tф. Введение дополнительных звеньев для обеспечения устойчивости систем управления называется коррекцией САУ, а сами звенья – корректирующими.

В этом разделе были рассмотрены методы исследования одного из важнейших показателей качества систем управления - устойчивости линейных систем. Применение этих методов для анализа конкретных систем обычно осуществляется следующим образом. Вначале строят ЛАХ разомкнутой системы управления. Если система неустойчива, то подбирают и вводят в нее корректирующие звенья таким образом, чтобы наклон ЛАХ на частоте среза составлял - 20 дБ/дек и обеспечивался необходимый запас устойчивости. После этого обязательно исследуют устойчивость скорректированной системы с помощью критерия Найквиста-Михайлова и определяют точные значения запасов устойчивости по усилению и по фазе. При необходимости после этого изменяются параметры системы управления для обеспечения заданного запаса устойчивости.

ЛЕКЦИЯ 7.

На предыдущих лекциях исследовались установившиеся процессы в САУ. Сейчас мы переходим к рассмотрению переходных процессов. Начнем их рассматривать с понятия устойчивости.

Любая система должна быть прежде всего работоспособной. Это значит, что она должна нормально функционировать при действии на нее различных внешних возмущений. Иными словами, система должна работать устойчиво.

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

На рис. 7.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 7.1, а) и устойчивой (рис. 7.1, б) системах. Если система неустойчива , то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1 на рис. 7.1, а) или колебательным (кривая 2 на рис. 7.1, а).

Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего УУ будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом УУ будет не устранять отклонение у , а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.

Колебательный расходящийся процесс может наступить, например, при неограниченном увеличении коэффициента передачи системы. Вследствие чего УУ станет излишне энергично воздействовать на объект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения у . В этом случае при каждом очередном возврате у к нулю под действием управляющего устройства кривая у будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.

В случае устойчивой системы (рис. 7.1, б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.

Таким образом, устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.

Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом таких условий работы можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях воздействия на систему ограниченных по величине возмущений.

Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворять и последнему определению.

Линейная система автоматического управления называется устойчивой, если ее выходная координата у(t) остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях х(t) и f(t). Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.

Таким образом, для определения устойчивости линейной системы требуется найти изменение ее управляемой величины. Структурная схема линейной системы приведена на рис.7.2, где W(s) - передаточная функция разомкнутой системы, которая в общем виде, как было определено на второй лекции, имеет вид:

Рис. 7.2. Структурная схема линейной системы

Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 7.2, определяется по следующей формуле

Подставив (7.1) в (7.2) и освободившись от дробей в числителе и знаменателе передаточной функции замкнутой системы, можно представить ее так:

Процессы в системе (рис.7.2), как следует из (7.3), описываются дифференциальным уравнением вида

Решение линейного неоднородного уравнения (7.4) в общем виде состоит, как известно, из двух составляющих:

Здесь - частное решение неоднородного уравнения (7.5) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; - общее решение однородного уравнения

описывающее переходный процесс в системе.

Как показано выше, система будет устойчива, если переходные процессы , вызванные любыми возмущениями, будут затухать, т.е. если с течением времени будет стремиться к нулю.

Решение однородного дифференциального уравнения, как известно, имеет вид:

Здесь С i – постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; s i – корни характеристического уравнения

где полином , называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (7.4) динамики системы.

Из теории комплексных переменных известно, что если вещественная часть корня s i отрицательна, то слагаемое стремится к нулю при t ® ¥.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно , чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 7.3), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми .

Рис. 7.3. Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:

Корень в начале координат;

Пара мнимых корней.

Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. В этом случае границу устойчивости называют апериодической ; система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной: выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми .

В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной , при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.

Если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, т.е. лежит в правой полуплоскости комплексной плоскости корней характеристического уравнения, то система неустойчивая.

Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости .

Существуют три основных критерия устойчивости: критерий Рауса-Гурвица, критерий Михайлова и критерий Найквиста. Рассмотрим их последовательно.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Тема 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Диплом, это двадцать минут позора и кусок хлеба на всю жизнь. Временная функция многовариантна, характеристическое уравнение черт знает какого порядка, но система работает устойчиво. Стоит ли подводить под это дело еще и частотный анализ?

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы. ХХ в.

Ты никогда не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно.

Уильям Блейк.

Введение.

1. Критерии устойчивости. Понятие устойчивости системы. Условие устойчивости САУ. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса. Критерий Гурвица.

2. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Найквиста.

3. Запас устойчивости систем. Понятие структурной устойчивости. Понятие запаса устойчивости. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность.

5. Качество систем. Показатели качества систем управления. Показатели качества переходного процесса. Последовательное корректирующее устройство. Параллельное корректирующее устройство. Метод Солодовникова. Программы анализа качества процессов управления.

6. Случайные процессы в системах. Модели случайных сигналов. Фильтрация помех. Фильтр Винера. Частотная характеристика фильтра.

Введение

Важнейшей задачей анализа динамических систем управления является решение вопроса об их устойчивости. Техническое понятие устойчивости систем автоматического управления отражает свойство технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при отклонении всевозможных параметров системы от номинала и влиянии на систему дестабилизирующих воздействий, т. е. способности системе возвращаться к равновесному состоянию, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы - техническое требование в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.

4.1 . КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ .

Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.

Возникновение неустойчивых (расходящихся) колебаний в системе можно проследить на примере следящей системы с обратной связью (рис. 4.1.1). Допустим, что в установившемся состоянии равновесия при опорном сигнале u o на регуляторе Р выходное состояние объекта управления ОУ равно y уст. Это состояние поддерживается сигналом рассогласования е уст, который формируется в регуляторе Р по разности опорного сигнала и сигнала обратной связи у ос-уст, т.е. е уст = u o -у ос-уст. В первый момент включения системы в силу инерционности обратной связи у ос = 0, а, следовательно, e(t) >> е уст, что вызывает нарастание выходной величины y(t), которая будет стремиться к y(t) >> у уст по крайней мере, до тех пор, пока сигнал обратной связи не начнет уменьшать значение e(t). Однако значительно возросшая величина y(t) через ОС передается на вход регулятора системы и может настолько существенно уменьшить значение e(t), что это может привести к последующему снижению величины выходного сигнала до значений y(t) << у уст, т.е. к возникновению колебательного процесса относительно равновесного состояния. При неблагоприятном соотношении параметров системы колебательный процесс может быть незатухающим и даже расходящимся. Пример такого процесса в концертной акустике хорошо известен – свист из динамиков, если коэффициент обратной связи от динамиков на микрофоны на определенных частотах становится положительным.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко:

1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров;

2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости.

Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:

y(t) = у св (t) + у вын (t). (4.1.1)

Здесь у св (t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:

a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y’ + a n y = 0,

т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.

Функция у вын (t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей у вын = y(t®∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P o sin(wt+j), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у вын = y max sin(wt+j).

Только устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.

Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар возвращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздействиях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возмущений.

Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.

Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.

Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:

W(p) = K(p)/H(p) =

= / , (4.1.2)

где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.

Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.

Из выражения (4.1.2) передаточной функции системы можно получить дифференциальное уравнение системы в целом, как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии.

Уравнения разомкнутых систем. Если выражение (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы, то выражение

u(р) К(р) = y(p) Н(р), (4.1.3)

будет представлять собой операторное уравнение разомкнутой системы (уравнение в изображениях переменных). Положив в (4.1.3) u(p)=0, получим операторное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе:

y(p) H(p) = 0. (4.1.4)

Переходя в (4.1.4) к оригиналам, т. е. от операторного уравнения к дифференциальному, и обозначив y(t) = х, получаем дифференциальное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе

a 0 d n x/dt n + a 1 d n-1 x/dt n-1 +…+ a n-1 dx/dt +a n = 0 (4.1.5)

Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (4.1.5), будет

Н(р) = 0, a 0 p n +a 1 p n-1 +…+ a n-1 p+a n = 0. (4.1.6)

Отсюда следует: приравненный нулю знаменатель передаточной функции разомкнутой линейной динамической системы является характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению разомкнутой системы. В связи с этим многочлен Н(р)=0 называется характеристическим оператором системы.

Уравнение замкнутых систем. Пусть (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы. Для замкнутой системы в силу отрицательной главной обратной связи имеем u(t) = -y(t), и (4.1.3) принимает вид -К(р) y(р) = Н(р) y(р). Операторное уравнение свободного движения в замкнутой системе:

[К(р)+Н(р)]y(р) = 0, (4.1.7)

где К(р), Н(р) - соответственно числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы; y(р) - изображение координаты системы в точке ее замыкания.

На основании (4.1.7) можно записать характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе

К(р) + Н(р) = 0. (4.1.8)

C учетом того, что W oc (p) = 1, передаточная функция замкнутой системы:

W зс (p) = W(p)/, (4.1.9)

где W(p)=K(p)/H(p) - передаточная функция разомкнутой системы. Или:

W зс (p) = K(p)/ = K(p)/H зс (p). (4.1.9")

На этом основании характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать в виде

H зс (р) = K(p) + H(p) = 0. (4.1.10)

Таким образом, приравненная нулю сумма полинома числителя и полинома знаменателя передаточной функции разомкнутой системы или приравненный нулю полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы являются характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе.

Корни характеристических уравнений систем могут быть либо вещественными, либо попарно комплексно сопряженными. Решение однородного уравнения выражается через корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:

у св (t) =С n exp(p n t). (4.1.11)

Условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанного в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать .

Из формулы (4.1.11) нетрудно вывести условие устойчивости линейных динамических систем: линейная система будет устойчива, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, соответствующего исходному дифференциальному уравнению свободного движения системы, будут отрицательными, что дает затухающие по экспоненте решения. Если имеются чисто мнимые корни, то в переходном процессе будут гармонические незатухающие компоненты.

Каждому отрицательному вещественному корню a i соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая у св (t) i , каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует у св (t) i = const (рис. 4.1.3).

Исходя из расположения на комплексной плоскости, корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис. 4.1.5). Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Таким образом, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней может встречать затруднения. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости без определения корней характеристического уравнения, по определенным критериям устойчивости.

Проверку факта отрицательности вещественных частей корней можно выполнять тремя способами:

Вычислив корни непосредственно, с использованием готовых программ;

Связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования;

Судить об устойчивости по частотным характеристикам системы.

Первые два способа называют алгебраическими, последний - частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные и удобные правила проверки устойчивости. Однако сам по себе критерий устойчивости не обязан быть необходимым и достаточным условием устойчивости системы.

Алгебраические критерии устойчивости.

Необходимое условие устойчивости. Если все корни характеристического уравнения левые (вещественные части всех корней отрицательны), то все коэффициенты уравнения имеют один знак, т.е. все значения a n либо больше нуля, либо меньше нуля одновременно. Равенство коэффициентов нулю не допускается (граница устойчивости). Доказательство очень простое и заключается в разложении полинома на простейшие множители. Они могут быть вещественные или комплексно - сопряжённые. Объединим последние в пары и перемножим, при этом в скобках нет ни одного отрицательного числа, а, следовательно, знак всех членов характеристического уравнения будет определяться знаком коэффициента a 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a 0 > 0. В противном случае уравнение умножается на -1.

Рассмотренное условие при порядке системы больше 2 является необходимым, но не достаточным условием, и применяется для отсеивания заведомо неустойчивых систем. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

Критерий Рауса. Используется в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке – аналогично коэффициенты с нечетными индексами;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c k,i = c k+1,i-2 - r i c k+1, i-1 , где r i = c 1,i-2 /c 1,i-1 , i ≥3 - номер строки, k - номер столбца.

4) Число строк таблицы на единицу больше порядка характеристического уравнения.

r 3 = c 11 /c 12		c 13 = c 21 -r 3 c 22	c 23 = c 31 -r 3 c 32	c 33 = c 41 -r 3 c 42
r 4 = c 12 /c 13		c 14 = c 22 -r 4 c 23	c 24 = c 32 -r 4 c 33	c 34 = c 42 -r 4 c 43

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c 11 , c 12 , c 13 ,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.

Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, насколько далеко отстоит она от границы устойчивости.

Критерий Гурвица. Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица D по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны. Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения п.

Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.

4.2 . ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ .

Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома (обозначим его функцией D(р) для любого типа систем) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. с графиком комплексной функции D(jw) при изменении w от 0 до ∞. Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик систем судить об их устойчивости. Их достоинство - в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Принцип аргумента. Запишем характеристический полином в виде

D(p) = a 0 (p-p 1) (p-p 2)… (p-p n) = 0,

Его корни: p i = a i + jw i = |p i | exp(j arg(p i)), где arg(p i) = arctg(w i /a i) + kp, |p i | - значения модулей корней.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис. 4.2.1а), тогда разность p - p i изобразится разностью векторов (рис. 4.2.1б), где p - любое число.

Если изменять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p i будет перемещаться по комплексной плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p i - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой w, то p = jw, а характеристический полином принимает вид:

D(jw) = a 0 (jw - p 1) (jw - p 2) ... (jw - p n).

При этом концы векторов jw - p i будут находиться на мнимой оси (рис. 4.2.1в). Если менять w от -∞ до +∞, то каждый вектор jw - p i будет поворачиваться относительно своего начала p i на угол +p для левых и -p для правых корней (рис. 4.2.1г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(jw) = |D(jw)| exp(j arg(D(jw))),

где |D(jw)| = a 0 |jw-p 1 | |jw-p 2 | ... |jw-p n |, arg(D(jw)) = arg(jw-p 1) + arg(jw-p 2) + ... + arg(jw-p n).

Пусть из n корней m - правые, а n-m - левые, тогда угол поворота вектора D(jw) при изменении w от -∞ до ∞ равен

= (n-m)p - mp,

или при изменении w от 0 до +∞:

= (n - 2m) (p/2). (4.2.1)

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора D при изменении частоты от -∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на p, а при изменении частоты от 0 до +∞ эта разность умножается на p/2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Критерий устойчивости Михайлова . Так как для устойчивой системы число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(jw) составит

= np/2. (4.2.2)

Система будет устойчива, если вектор D(jw) при изменении частоты от 0 до +∞ повернется на угол np/2. При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Для построения годографа выражение (4.1.6) записывается с заменой p на jw в форме:

a 0 p n +a 1 p n-1 +…+ a n-1 p+a n = D(jw) = P(w) + jQ(w),

где P(w) - вещественная часть, как сумма всех членов характеристического уравнения, содержащих j в четных степенях, Q - мнимая часть выражения. Годограф начинается на положительной полуоси при D(0) = a n , и, при изменении частоты от 0 до ∞, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, с уходом в бесконечность в n-ом квадранте (рис. 4.2.2а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис. 4.2.2б)), то такая система неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.

Критерий удобен своей наглядностью и используется, если известно уравнение замкнутой системы. Если кривая проходит вблизи начала координат, то система находится вблизи границы устойчивости и наоборот.

Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы. Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи (рис. 4.2.3). Исследование разомкнутой системы проще, чем замкнутой, и его можно производить экспериментально.

Передаточная функция W pc разомкнутой системы:

W pс (jw) = K p c (jw)/H pc (jw),

с углом поворота фазы в соответствии с выражением (4.2.2):

D arg H рс (jw) = np/2, 0 ≤ w ≤ ∞. (4.2.3)

АФЧХ замкнутой системы описывается выражением:

W зс (jw)= W pc (jw) /. (4.2.4)

Обозначим знаменатель этого выражения через W 1 (jw):

W 1 (jw)=1+W pc (jw)=1+K p c (jw)/H pc (jw)=H(jw)/H pc (jw), (4.2.5)

где H(jw) = K pc (jw) + H pc (jw), характеристический полином замкнутой системы при р=jw.

В соответствии со свойствами передаточных функций порядок полинома Н(р) не превышает порядка полинома H pc (p), т.к. H(p)=K pc (p)+H pc (p), а порядок полинома K pc (p) меньше порядка полинома H pc (p). Поэтому критерий Михайлова для замкнутой системы соответствует выражению:

D arg H(jw) = (n - 2m) (p/2), 0 ≤ w ≤ ∞. (4.2.6)

где m - число правых корней системы, имеющей в замкнутом состоянии характеристический полином Н(р)=0.

Из (4.2.5) следует:

D arg W 1 (jw) = D arg H(jw) - D arg H pc (jw).

C учетом (4.2.3):

D arg W 1 (jw) = (n - 2m) (p/2) - np/2 = -mp. (4.2.7)

В устойчивой замкнутой системе правых корней в характеристическом уравнении нет, т. е. m=0, а, следовательно, условием устойчивости замкнутой системы будет:

D arg W 1 (jw) = 0. (4.2.8)

Условие (4.2.8) выполняется только тогда, когда кривая W 1 (jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает начала координат комплексной плоскости. Действительно, только в этом случае результирующий поворот вектора W 1 (jw) при изменении w от 0 до ∞ будет равен нулю, так как возрастание угла j(w), обусловленное движением вектора W 1 (jw) в положительном направлении (против часовой стрелки), будет компенсироваться таким же убыванием j(w), обусловленным движением вектора W 1 (jw) в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Как видно из (4.2.5), переход на комплексной плоскости от годографа вектора W 1 (jw) к годографу вектора АФЧХ разомкнутой системы W pс (jw) осуществляется сдвигом кривой W 1 (jw) влево на -1, так как W pc (jw) = W 1 (jw) -1. С учетом этой операции, получаем следующую формулировку амплитудно-фазового критерия устойчивости Найквиста: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы W pс (jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) (рис. 4.2.4, годограф 2).

Более общая формулировка критерия Найквиста относится к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода (рис. 4.2.4, годограф 1), когда W pс (jw) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки Re W pc (w) = -1. Будем считать положительным переход годографа через вещественную ось, если он совершается сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх. Для таких годографов критерий Найквиста формулируется в следующем виде: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если при изменении частоты от 0 до +∞ разность между числом положительных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через участок вещественной оси (-1; -∞) и числом отрицательных переходов равна нулю. Из этого условия видно, что система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ в форме кривой 1 на рис. 4.2.4, устойчива и в замкнутом состоянии.

На рис. 4.2.5а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис. 4.2.5б - замкнутая САУ неустойчива.

На рис. 4.2.5в и 4.2.5г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при w ® 0 уходит в бесконечность. В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса.

Критерий Найквиста нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли система, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

4.3 . ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ .

Понятие структурной устойчивости. Астатическая система может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

Системы, неустойчивые по первой причине, называются структурно неустойчивыми. Это означает, что изменением параметров системы нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Например, если система состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис. 4.3.1. При увеличении коэффициента усиления системы K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении К крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0). При дальнейшем увеличении K, система будет неустойчива. И, наоборот, при уменьшении K такую систему, в принципе, можно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой.

Если система астатическая, то n - порядок астатизма, равен количеству последовательно включенных интеграторов. При ее размыкании характеристическое уравнение системы имеет нулевые корни, поэтому при w®∞ АФЧХ стремится к ∞ (рис. 4.2.5в и 4.2.5г). Например, пусть W р (p) = K/(p(Tp+1)), тогда АФЧХ разомкнутой системы:

W(jw) = = P(w) + jQ(w).

Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при w®0 имеем P(w)®∞, Q(w)® -j∞. Подобная АФЧХ представлена на рис. 4.3.2. Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0). В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при w®0, ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, система, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.

Если система имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма 2), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис. 4.3.3). Например, пусть W р (p) = K/(p 2 (Tp+1)), тогда АФЧХ системы:

W(jw) = = P(w) + jQ(w).

При w®0 имеем P(w)® -∞, Q(w)® j∞. Такая система не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие) или изменив структуру системы, например, с помощью местных обратных связей.

Понятие запаса устойчивости. В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать систему так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой системы от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис. 4.3.4).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом j между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой системы растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = K кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис. 4.3.5а) и попадет на границу устойчивости, а при K > K кр замкнутая система станет неустойчива. Однако в случае АФЧХ типа 1 (рис. 4.2.4) (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых систем (рис. 4.3.5в). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h 1 и h 2 , заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Анализ устойчивости по ЛЧХ. Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой системы. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых систем (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K 1 < K 2 . Пусть первая система устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет (рис. 4.3.7).

Если W 1 (p) - передаточная функция первой системы, то передаточная функция второй системы W 2 (p) = KW 1 (p), где K = K 2 /K 1 . Вторую систему можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (Безинерционное звено) и W 1 (p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев. Поэтому ЛАЧХ второй системы: L 2 (w) = 20 lg K + L 1 (w), а ЛФЧХ: j 2 (w) = j 1 (w).

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы j = -p. Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ j = -p линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A 1 (w) < 1, A 2 (w) > 1, что соответствует на ЛАЧХ значениям L 1 (w) = 20 lg A 1 (w) < 0 и L 2 (w) > 0.

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ j = -p будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h 1 и h 2 , определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где j = -p, но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты w c1 и w c2 , при которых это происходит, называют частотами среза.

В точках пересечения A(w) = 1 = > L(w) = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ j c1 > -p (рис. 4.3.7а кривая 1), то замкнутая система устойчива. На рис. 4.3.7б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии j = -p. И, наоборот, для неустойчивой замкнутой системы (рис. 4.3.7а кривая 2) j c2 < -p, поэтому при w = w c2 ЛФЧХ проходит ниже линии j = -p. Угол j 1 = j c1 -(-p) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии j = -p до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-∞; -1], можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию j = -p, была больше частоты среза.

Если АФЧХ разомкнутой системы имеет сложный вид, то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию j = -p. В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.

4.4 . ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ .

Понятие точности является центральным в теории автоматического управления, так как позволяет количественно выразить показатели качества систем. Различают точность, рассматриваемую в переходном процессе - динамическая точность, и точность в установившемся режиме - статическая точность.

Рассмотрим логарифмическую частотную характеристику системы в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии (рис. 4.4.2). Жирной линией показан идеальный случай абсолютно точной системы. Реальная частотная характеристика отличается от идеальной и в некоторой полосе (w н, w в) не выходит за пределы допуска e. Такое же рассуждение справедливо и для ФЧХ. Задав допустимые границы точности по амплитуде и по фазе, получим область частот, где гарантируется данная точность - это полоса пропускания. Задавая требуемую рабочую частоту по приведенным выше формулам можно вычислить ошибку на этой частоте при гармоническом воздействии.

Общий способ повышения точности (в статическом и динамическом режимах) – обеспечение следующих оценок:

W зс (p) = W(p)/(1+W(p) » 1 - Мера точности воспроизведения задающего воздействия в замкнутой системе.

W с (p) = 1/(1+W(p) » 0 - Мера малости ошибки слежения.

Один из основных способов повышения точности - увеличение коэффициента k разомкнутой системы. При увеличении k оба приближённых равенства оценок выполняются всё более точно, что говорит об общем повышении точности, причём это повышение точности происходит при любой W(p).

Однако это не значит, что можно таким образом достичь любой желаемой точности. Здесь начинает сказываться одно из фундаментальных противоречий в рамках теории управления - противоречие между точностью системы и запасом устойчивости. При чрезмерном увеличении k возможна потеря устойчивости замкнутой системы. Годограф Найквиста, не охватывающий точку (-1; j0), но проходящий, например, из 3 квадранта во второй (см., например, кривую 1 на рис. 4.2.4), при увеличении k "раздувается" относительно начала координат и начинает охватывать эту точку, то есть нарушается условие критерия устойчивости Найквиста. Повышение точности всегда приводит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде.

Конкретные значения точности анализируемой системы проводятся разложением W e (p) в ряд Тейлора в окрестностях p=0 и анализом коэффициентов этого ряда.

Динамическая точность относится к более сложным задачам анализа систем, т.к. требует изучения всего переходного процесса. При достаточно большом значении модуля АФЧХ в разомкнутой системе передаточная функция прямой ветви имеет пренебрежимо малое значение, передаточная функция замкнутой системы будет в основном определяться цепью ОС. Если коэффициент передачи разомкнутой системы много больше единицы W(p)W oc (p) >>1 и |W(p)| >>1, то для замкнутой системы можно принять:

W зс (p) = W(p)/(1+W(p)W oc (p)) » 1/W oc (p),

что существенно упрощает анализ системы.

Для повышения динамической точности системы обычно используется принцип комбинированного управления по задающему воздействию (принцип инвариантности).

Добавим в стандартную структуру системы дополнительную передаточную функцию Y(p) » 1/(W(p)W oc (p)) так, чтобы сигнал ошибки вообще не зависел от задающего воздействия (рис. 4.4.3). Это можно выполнить введением в систему дополнительной ветви прохождения сигнала, и подобрать коэффициент передачи в этой ветви так, чтобы компенсировать нежелательный сигнал. Аналогичная операция может быть выполнена и на возмущающее воздействие f(p).

4.5 . КАЧЕСТВО СИСТЕМ .

Показатели качества систем управления. Требование устойчивости для системы относится к числу необходимых, но не может считаться достаточным. Система может быть устойчивой, но время затухания настолько велико или ошибка в установившемся режиме настолько большая, что практически данная система не может быть использована. Поэтому система должна быть не только устойчивой, но иметь определенный переходный процесс, а ошибки в установившихся режимах не должны превышать допустимых.

Характер переходного процесса линейной системы в отличие от устойчивости зависит не только от параметров системы, но и от вида возмущающего (задающего) воздействия и начальных условий. Чтобы сравнивать системы по характеру переходного процесса, из возможных воздействий выбирают типовые или наиболее неблагоприятные и определяют кривую переходного процесса при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий обычно принимают единичное ступенчатое воздействие, единичный импульс, линейно нарастающее и синусоидальное воздействие. Для большинства систем наиболее неблагоприятным является воздействие вида единичной ступенчатой функции a(t) =1(t). Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией системы. Для следящих систем обычно рассматривают переходную функцию H(t), вызванную изменением задающего воздействия 1(t), а для систем стабилизации - переходную функцию H f (t), вызванную изменением возмущающего воздействия f(t).

Точность системы в установившихся режимах оценивается с помощью статических и динамических ошибок. Эти ошибки по аналогии можно назвать показателем качества системы в установившихся режимах. Совокупность показателей качества переходного процесса и установившихся режимов называется показателями качества системы в целом.

Считается, что система обладает требуемым качеством, если ее показатели качества не превышают заданных значений, определенных назначением системы.

Рассмотрим поведение системы управления (рис. 4.5.1), предназначенной для решения задачи слежения - соблюдения заданного закона изменения выходной переменной y(t). Последнее выражается в виде целевого условия

y(t) → у*(t), e(t) → 0, (4.5.1)

e(t) = y*(t) - у(t),

где e(t) - ошибка (рассогласование) системы. При ненулевых начальных рассогласованиях система должна с течением времени обеспечить с некоторой степенью точности совпадение входного (задающего) y*(t) и выходного y(t) сигналов (устранение ошибки e(t)).

Мгновенное устранение возникающих рассогласований e(t) в реальных системах невозможно в силу инерционности систем регулирования и ограничений, накладываемых на управляющие воздействия. Практически неосуществимо и абсолютно точное выполнение асимптотических условий (4.5.1) в силу действующих возмущений и дестабилизирующих факторов. Указанные соображения приводят к необходимости введения специальных показателей качества, характеризующих эффективность решения той или иной задачи управления.

Выходная переменная возмущенной системы определяется суммой свободных и вынужденных составляющих движения:

y(t) = y св (t) + y в (t),

где в силу устойчивости системы выполняется условия

y св (t) → 0, y в (t) → y у (t), (4.5.2)

Условия (4.5.2) соответствуют переходному режиму системы, по окончанию которого система "переходит" в установившийся режим y y (t).

В зависимости от свойств системы переходный режим может оказаться достаточно быстрым или медленным, монотонным или колебательным. Для оценки поведения системы в переходном режиме вводятся динамические показатели качества, т. е. численные оценки быстродействия и колебательности системы (время переходного процесса, затухание, перерегулирование, и пр.).

Наиболее просто оценить качество переходного режима автономной системы, для которой вынужденная составляющая отсутствует. В установившемся режиме выходная переменная системы в идеальном случае должна быть идентична задающему воздействию, что соответствует нулевому значению установившейся ошибки.

Существует ряд универсальных приемов, позволяющих одновременно оценить динамические и/или точностные показатели системы, к которым относятся методика оценки качества по переходной функции, оценка по интегральным критериям и т. д.

Показатели качества переходного процесса. Переходная функция системы оценивается с помощью совокупности характеристик, называемых показателями качества переходного процесса. Принято использовать следующие стандартные показатели качества переходного процесса, отражённые на типичном графике 1 переходного процесса в следящей системе со ступенчатым задающим воздействием (рис. 4.5.2):

· t пп - время переходного процесса, по истечении которого отклонение управляемой величины y(t) относительно заданного значения y зад по абсолютному значению становится (и остается в дальнейшем) меньше определенной заданной величины e уст. Обычно принимается e уст = d y зад, d = 0.05. Время регулирования характеризует быстроту затухания переходного процесса.

· t у - время установления, промежуток времени, за который управляемая величина в первый раз достигает своего установившегося значения, характеризует скорость процесса управления.

· e уст - установившаяся ошибка (статическая точность, e уст = e(∞) =1- у уст.). Если e уст =0, то система астатическая.

· σ% - относительное перерегулирование (σ = (y max -y зад)/y зад). Обычно требуют, чтобы значение σ было менее 18%. Перерегулирование характеризует колебательные свойства процессов. При нулевом значении s процесс носит монотонный характер (график 2 на рис. 4.5.2), а при достаточно больших s приближается к незатухающему колебательному движению.

· n - число колебаний за время переходного процесса (≤3шт.).

Как известно (и следует из выражения (4.1.11), чем дальше полюсы характеристического уравнения системы находятся от границы устойчивости (слева от мнимой оси комплексной плоскости), тем выше скорость протекания переходных процессов в системе. Для количественной оценки быстродействия систем используется также понятие степени устойчивости , которой называется положительное число, соответствующее расстоянию от мнимой оси до ближайшего к ней корня p i:

a = - min Re p i . i = .

В общем случае, этому условию соответствует пара комплексно сопряженных корней

p 1,2 = -a ± jb,

c соответствующей наиболее медленной колебательной составляющей:

y i (t) = A exp(-at) sin(bt+j).

Отсюда, по затуханию колебательного процесса exp(-at) нетрудно определить время переходного процесса по заданной величине d:

t пп ≈ (1/a) ln(1/d).

Знак приближенности в данном случае отражает тот факт, что другие составляющие общего решения (4.1.11) также могут внести определенную долю в значение t пп, особенно, если вещественные части их полюсов близки по значениям к минимальному значению a.

По переходной характеристике и значению установившейся ошибки (ошибки при t>>t пп) можно оценить точность системы в режиме стабилизации - при постоянном входном или заданном воздействии у*(t)=const.

Эти показатели связаны с запасами устойчивости по амплитуде и по фазе. Поэтому, обеспечение стандартных показателей качества обеспечивает необходимую устойчивость. Задачу обеспечения показателей можно рассмотреть как оптимизационную. Как правило, эта задача оказывается многокритериальной и достаточно трудной для решения, в том числе, численного.

При синтезе САУ в системе обычно выделяются неизменяемая часть и изменяемая часть, в которую можно вносить коррективы. Неизменяемая часть системы задает возможность получения гарантированного качества. Классическим методом повышения качества системы является метод диаграмм В.В.Солодовникова. Практическая задача оптимизации обычно выполняется с использованием корректирующих устройств.

Последовательное корректирующее устройство. Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы равна исходной, умноженной на передаточную функцию корректора. Корректирующее устройство включается последовательно в контуре системы в любом месте. Для исследования подходят ЛАЧХ, так как они складываются при последовательном соединении. ЛАЧХ и ЛФЧХ корректора находятся в виде разности желаемых и имеющихся частотных характеристик системы.

Типичным последовательным корректирующим устройством является ПИД- регулятор. Эти пропорционально-интегрально-дифференциальные регуляторы выпускаются в широком ассортименте и в разнообразных реализациях, включая программную на контроллерах.

ПИД-регулятор (рис. 4.5.3) имеет три параллельных канала: усилитель с коэффициентом k п, интегратор с коэффициентом k и, дифференциатор с коэффициентом k д. Усилитель позволяет изменить коэффициент усиления системы и уменьшить установившуюся ошибку: e уст =1/(1+k п k). Интегратор повышает порядок астатизма на 1. Увеличение k д повышает запас устойчивости и сглаживает переходный процесс, поэтому дифференциальную составляющую называют демпфированием. С помощью интегральной и пропорциональной составляющих можно обеспечить первый порядок астатизма и желаемую статическую точность в ущерб запасу устойчивости, а дифференциальная составляющая повышает запас устойчивости.

Параллельное корректирующее устройство имеет вид местной отрицательной ОС (рис. 4.5.4). Для синтеза параллельных корректирующих устройств использовать логарифмические частотные характеристики менее удобно, чем для последовательных. Существует ряд инженерных методов расчёта параллельных корректоров (например, метод диаграмм Никольса). Можно просто вычислять корректирующую W кор (p) по желаемой W зс (p).

W кор (p) = (W(p)- W зс (p))/(W(p)W зс (p)).

Одна из двух передаточных функций W кор (p) или W зс (p) обычно не является физически реализуемой. Тем не менее, всегда можно выбрать достаточно близкую реализуемую функцию.

Метод Солодовникова позволяет построить корректирующее звено для имеющейся системы так, чтобы обеспечит требуемые типовые показатели качества и запас устойчивости по амплитуде и фазе. Метод основан на имеющейся связи между частотной характеристикой и переходной функцией:

H(t) = (2/p) (P(w)/w) sin(wt) dw,

где P(w) – вещественная часть АФЧХ W(jw)=P(w)+jQ(w).

В.В. Солодовников доказал, что в любой системе имеются следующие зависимости между основными показателями качества переходного процесса и Р(ω).

- σ% > 18%, если есть "горб", т.е. Р мах > Р 0 ;

- σ% < 18%, если нет горба;

- σ% = 0, если производная dP/dω<0 и монотонно убывает. Требование монотонного убывания часто налагает неоправданные ограничения на конструкцию, достаточно обеспечивать σ% < 18%.

Диаграммы Солодовникова устанавливают связь между σ%, t пп, Р мах и ω с - частотой среза системы, то есть той частотой, где усиление системы равно 1 или L(ω с) = 0.

Область существенных частот (ω н, ω в) - это та часть частотной характеристики, которая в основном определяет качество системы. Диапазон ЛАЧХ для области существенных частот от +26дб. до -16дб. Уровень +26дб. соответствует усилению K=20 и соответствующей установившейся ошибке e уст =1/(1+К) ≈ 0.05, т.е. нижняя частота области существенных частот определяется статической точностью e уст ≈ 0.05 при ступенчатом входном воздействии. Левее частоты ω н ЛАЧХ не ниже +26дб, если не требуется астатизма, либо имеет наклон в зависимости от порядка астатизма. Уровень -16дб. соответствует малости влияния высокочастотных составляющих переходного процесса на уровне ≈ 10%. Наклон ЛАЧХ в области существенных частот должен быть -20дб./дек. На диаграмме Солодовникова по горизонтали отложена второстепенная величина Р мах /Р 0 , которая в настоящее время используется редко, а по вертикальным осям отложены σ%, t пп и ω с.

Использовать диаграммы Солодовникова (рис. 4.5.5) можно по-разному. Обычно применяется такая методика. Уточняют, какие показатели качества могут быть сформулированы заказчиком, и остальные параметры, необходимые для построения корректирующего устройства, определяют по диаграммам Солодовникова. По графикам можно, например, определить при заданном перерегулировании и времени переходного процесса частоту среза системы: (σ%, t пп) → ω с, n, ∆A, ∆φ. Причём последние три параметра обеспечиваются автоматически. Тогда алгоритм синтеза САУ при исходно заданных σ%, t пп может быть, например, таким:

· По диаграммам определяем ω с (выражение ω с через t пп).

· Строим область существенных частот, что даёт нам основную часть желаемой ЛАЧХ. Достраиваем высокочастотную часть произвольно и низкочастотную часть, исходя из требуемого порядка астатизма.

· Синтезируем последовательное корректирующее звено, обеспечивающее такую ЛАЧХ. Использование методики Солодовникова гарантирует показатели качества замкнутой системы и запасы устойчивости по амплитуде на уровне ∆A%=200 (коэффициент усиления может быть увеличен в два раза), и по фазе на уровне ∆φ =35˚.

Программы анализа качества процессов управления. Современные инструментальные средства анализа и синтеза систем управления представлены множеством различных специализированных программных пакетов и комплексов, которые позволяют в диалоговом режиме выполнять операции над матрицами и полиномами, вычислять временные и частотные характеристики, строить корневые годографы, анализировать чувствительность и устойчивость, проверять управляемость и наблюдаемость системы, находить ее полюса и нули, сравнивать переходные процессы в системе по интегральным критериям и находить лучший, определять параметры и характеристики стохастических сигналов на входе и на выходе системы, составлять и преобразовывать математические модели исследуемой системы.

Эти программные средства обладают развитым сервисом, что позволяет строить и сравнивать графики нескольких процессов, изображать взаимные зависимости, фазовые кривые и портреты, строить характеристики и диаграммы, изображать и преобразовывать структурные модели системы, при этом графические построения могут быть выполнены в двух- и трехмерном представлении.

Известны фирменные и университетские программные пакеты анализа и синтеза систем управления: LSАР – США (Ливерморская национальная лаборатория) ТUТSIМ – США (Станфордский университет); СLADP – Великобритания (Кембридж); КЕDDС – Германия (Рурский университет); МАТRIХ - фирмы Integrated Systems Inc.; SIMULINK в среде МАТLАВ известной фирмы Маth Works Inc.; МАRS – Украина (Институт кибернетики). Среди отечественных инструментальных программных средств известны разработки Академии авиационного и космического приборостроения, Санкт-Петербург; Московского инженерно-физического института; Московского государственного технического университета; Института проблем управления РАН, Москва.

Программные комплексы ТUТSIМ, МАТRIХ, SIMULINK позволяют исследовать модели любых динамических систем, которые испытывают любые внешние воздействия. Комплексы обеспечивают команды изменения структуры модели, ее параметров, выходных блоков и диапазонов рассчитываемых данных; команды одиночного и многократного запуска, останова и продолжения процесса моделирования с выводом графиков и числовых данных на экран, принтер или в файл; команды графического сервиса, позволяющие изображать оси, сетку, маркировку, комментарии к графикам, строить фазовые кривые или взаимозависимости и прочее. Комплексы располагают различными функциональными блоками для моделирования любых непрерывных и дискретных, линейных и нелинейных динамических систем, испытывающих детерминированные и стохастические воздействия.

4.6 . СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ .

В реальных системах имеются помехи (возмущения), действующие в каналах передачи информации. Часто не имеется никакой, кроме статистической, информации об этих факторах, что заставляет считать эти параметры случайными величинами с заранее неизвестными законами распределения. Так возникает задача управления в условиях неопределенности. Здесь имеются два аспекта: управление в условиях неопределенности и задача борьбы с помехами.

Модели случайных сигналов. Случайные процессы и отображающие их сигналы будем считать функциями времени, принимающими случайные значения. В каждый момент времени, значение случайного процесса есть случайная величина x(t). Основной характеристикой случайной величины в момент времени t является функция p(x,t) - плотность вероятности в момент t. Плотность вероятности определяет функции математического ожидания и дисперсии случайных величин:

M x (t) =x(t) p(x,t) dx, D x (t) =(x(t)-M x (t)) 2 p(x,t) dx.

Для описания статистической взаимосвязи значений x(t) в разные моменты времени вводятся корреляционная функция сигнала x(t):

K x (t 1 ,t 2) = M[(x(t 1)-M x (t 1)) (x(t 2)-M x (t 2))],

и взаимная корреляционная функция сигналов x(t) и y(t):

K x у (t 1 ,t 2) = M[(x(t 1)-M x (t 1)) (y(t 2)-M y (t 2))].

Отметим, что K x (t,t) = D x (t), т.е. при t 1 = t 2 = t это есть дисперсия в момент времени t.

Стационарным случайным процессом называется такой случайный процесс, для которого корреляционная функция зависит не от абсолютных значений t 1 и t 2 , а только от их разности K(t 1 ,t 2) = K(t 1 -t 2) = K(t). Дисперсия и математическое ожидание для стационарного случайного процесса являются константами. Стационарный случайный процесс для САУ не меняет своих статистических характеристик за время жизни системы.

Спектральная плотность S(ω) стационарного случайного процесса, есть преобразование Фурье от корреляционной функции K(τ). Соответственно, корреляционная функция K(τ) есть обратное преобразование Фурье спектральной плотности S(ω):

S(w) = K(t) exp(-jwt) dt, K(t) = (1/2p)S(w) exp(jwt) dw.

Спектральная плотность случайного процесса описывает разложение мощности процесса по гармоническим составляющим. Можно выразить дисперсию через интеграл от спектральной плотности. Это означает, что дисперсия есть суммарная мощность случайного процесса, распределённая по частоте:

D = K(0) = (1/2p)S(w) dw.

Фильтрация помех. Будем считать, что в САУ помехи могут быть в двух основных местах: помеха в канале управления (к управлению добавляется помеха W) и помеха в канале измерения (выходной сигнал измеряется с помехой V). Наиболее общая задача фильтрации шума - максимально возможное подавление обеих помех.

Если рассмотреть шумовой сигнал с бесконечным равномерным спектром, то ему будет соответствовать корреляционная функция в виде d-функции:

S(ω) = s 2 = const; K(τ) = (s 2 /2π) δ(τ); D = K(0) =∞.

Эти три уравнения описывают “белый шум” с интенсивностью s 2 . Ясно, что такой сигнал не может быть физически реализован в силу бесконечной мощности. Можно, однако, реализовать сколь угодно близкий к этому случайный процесс, называемый "розовым шумом". Формально розовый шум получается при пропускании белого шума через любое реальное звено. При этом ограничивается спектр сигнала, так как никакое реальное звено не может пропускать бесконечную полосу частот. В результате, у реального розового шума может быть сколь угодно широкий, но убывающий спектр, а его корреляционная функция может очень быстро убывать, что означает малую связь значений процесса в разные моменты времени.

Задачу фильтрации помех будем решать как оптимальную, то есть искать условия наибольшего подавления помех. Помехи будем считать случайными процессами с известными корреляционными функциями (спектральными характеристиками). Алгоритмы управления и фильтрации могут быть реализованы по отдельности, и их одновременное функционирование в замкнутой системе не мешает друг другу. Другими словами, оптимальный фильтр можно рассчитывать отдельно от регулятора в том смысле, что характеристическое уравнение замкнутой системы оказывается равным произведению уравнений подсистемы регулирования и подсистемы фильтрации.

При анализе и синтезе фильтров используется аддитивная модель входного сигнала: u(t) = s(t)+q(t), где s(t) - полезная составляющая сигнала управления, q(t) - составляющая шумов и помех. Синтез оптимальных фильтров производится с максимальным использованием известной априорной информации как о сигналах, которые необходимо выделять, так и о шумах и помехах. Как правило, используется информация о природе полезного сигнала и шума, об их спектральном составе, о корреляционных и взаимных корреляционных характеристиках. Наличие определенных особенностей (различий) в характеристиках сигнала и шума позволяет реализовать фильтр вообще и оптимальный фильтр в частности. Если такие особенности отсутствуют, постановка задачи становится некорректной.

При наличии помех абсолютно точное выделение полезного сигнала методами линейной фильтрации, как правило, невозможно. Результат фильтрации

z(t) = h(t) ③ u(t-t) (4.6.1)

отличается от s(t) на величины e(t) = z(t)-s(t), которые являются абсолютными значениями погрешности воспроизведения полезного сигнала по координатам t. Качество фильтра оценивается средним значением квадрата величины e(t):

. (4.6.2)

Выражение (4.6.2) дает возможность определить функцию h(t) фильтра по критерию минимума среднего квадратического отклонения выходного сигнала от его действительной или заданной формы.

Фильтр Винера является оптимальным фильтром формирования из входного сигнала u(t) выходного сигнала z(t) при известной форме полезного сигнала s(t), который содержится во входном сигнале в сумме с шумами. В качестве критерия его оптимизации используется среднее квадратическое отклонение сигнала z(t) на выходе фильтра от заданной формы сигнала s(t). Подставим уравнение свертки (4.6.1) в раскрытой форме интегральной свертки в выражение (4.6.2) и получим отклонение e 2 выходного сигнала z(t) от заданной формы выходного сигнала s(t):

Минимум выражения (4.6.3) определяет функцию импульсного отклика h(t) оптимального фильтра. При этом для оптимального фильтра действительно выражение:

h(t) ③ K u (t) = K zu (t). (4.6.4)

Другими словами, свертка функции отклика оптимального фильтра с функцией автокорреляции входного сигнала должна быть равна функции взаимной корреляции выходного и входного сигналов.

Отметим, что K u (t) = R u (t)+R q (t), где R u - функция автокорреляции сигнала, R q - функция автокорреляции шума, а K zu (t) = B zs (t)+B zq (t), где B zs - функция взаимной корреляции сигналов z(t) и s(t), B zq - функция взаимной корреляции сигнала z(t) и помех q(t). Подставляя данные выражения в (4.6.4), получаем:

h(n) ③ = B zs (t)+B zq (t). (4.6.5)

Частотная характеристика фильтра находится преобразованием Фурье левой и правой части уравнения (4.6.5):

H(w) = W zs (w)+W zq (w),

H(w) = / , (4.6.6)

где W s (w) - R s (t) и W q (w) - R q (t) - энергетические спектры (плотности мощности) сигнала и помех, W zs (w) - B zs (t) - взаимный энергетический спектр входного и выходного сигналов, W zq (w) - B zq (t) - взаимный энергетический спектр выходного сигнала и помех.

Обычно имеет место статистическая независимость полезного сигнала, а, следовательно, и сигнала z(t), от шумов, при этом B zq = 0 и фильтр называют оптимальным по сглаживанию шумов при заданной форме выходного сигнала:

H(w) = W zs (w) / , (4.6.7)

Фильтр (4.6.7) оптимален в том смысле, что максимизирует отношение мощности сигнала к мощности шума по всему интервалу сигнала, но не в каждой индивидуальной точке.

Выражения (4.6.6-4.6.7) достаточно наглядно демонстрируют физический смысл формирования передаточной функции фильтра. При воспроизведении сигнала частотная функция взаимной корреляции входного сигнала с выходным W zs (плотность взаимной мощности) повторяет частотную функцию автокорреляции W s (плотность мощности сигнала). Плотность мощности статистических шумов W q распределена по частотному диапазону равномерно, в отличие от плотности мощности сигнала W s , которая, в зависимости от формы сигнала, может занимать любые частотные интервалы спектрального диапазона. На частотах, где сосредоточена основная энергия сигнала, имеет место W s (w)>>W q (w) и H(w) Þ 1 (как минимум, больше 0.5). Там, где значение W s (w) становится меньше W q , коэффициент передачи фильтра становится меньше 0.5, и в пределе H(w)=0 на всех частотах, где полностью отсутствуют частотные составляющие сигнала.

Таким образом, оптимальные фильтры учитывают особенности спектрального состава сигналов и способны формировать передаточные функции выделения полезных частот сигналов из любых диапазонов спектра с максимальных подавлением шумов на всех частотах спектрального диапазона, не содержащих полезных сигналов, при этом границы усиления-подавления устанавливаются автоматически по заданному уровню шумов.

литература

1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Питер, 2005. - 336 с.

2. Повзнер Л.Д. Теория систем управления: Учебное пособие для вузов. - М.: Изд. МГГУ, 2002. - 472 с.

7. Туманов М.П. Теория автоматического управления: Лекции. URL: http://elib.ispu.ru/library/lessons/Tihonov_2/index.htm.

8. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное пособие. – МГИЭМ. М., 2005, 82 с. URL: http://window.edu.ru/window_catalog/files/r24738/5.pdf.

11. Михайлов В.С. Теория управления. – К.: Выща школа, 1988.

12. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. – К.: Выща школа, 1989.

О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: [email protected].

Copyright ©2008-2009 Davydov А.V.