განსაზღვრეთ მექანიკური სისტემის იმპულსის მოდული. მექანიკური სისტემის იმპულსის შეცვლა. იმპულსის შენარჩუნების კანონი

და მექანიკური სისტემა

მატერიალური წერტილის იმპულსი არის მექანიკური მოძრაობის ვექტორული საზომი, რომელიც ტოლია წერტილის მასისა და მისი სიჩქარის ნამრავლის, . იმპულსის საზომი ერთეული SI სისტემაში არის
. მექანიკური სისტემის მოძრაობის სიდიდე უდრის სისტემის ფორმირების ყველა მატერიალური წერტილის მოძრაობის სიდიდის ჯამს:

. (5.2)

გადავცვალოთ მიღებული ფორმულა

.

ფორმულის მიხედვით (4.2)
, Ამიტომაც

.

ამრიგად, მოძრაობის რაოდენობა მექანიკური სისტემაუდრის მისი მასისა და მასის ცენტრის სიჩქარის ნამრავლს:

. (5.3)

ვინაიდან სისტემის მოძრაობის სიდიდე განისაზღვრება მისი მხოლოდ ერთი წერტილის (მასის ცენტრის) მოძრაობით, ეს არ შეიძლება იყოს სისტემის მოძრაობის სრული მახასიათებელი. მართლაც, სისტემის ნებისმიერი მოძრაობისთვის, როდესაც მისი მასის ცენტრი უცვლელი რჩება, სისტემის იმპულსი ნულის ტოლია. მაგალითად, ეს ხდება მაშინ, როდესაც ხისტი სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის მასის ცენტრში.

შემოვიღოთ საცნობარო სისტემა Cxyzმისი წარმოშობა მექანიკური სისტემის მასის ცენტრშია თანდა ინერციულ სისტემასთან შედარებით ტრანსლაციურად მოძრაობს
(ნახ. 5.1). შემდეგ თითოეული წერტილის მოძრაობა
შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად: პორტატული მოძრაობა ცულებთან ერთად Cxyzდა მოძრაობა ამ ღერძების მიმართ. ცულების პროგრესული მოძრაობის გამო Cxyzთითოეული წერტილის პორტატული სიჩქარე უდრის სისტემის მასის ცენტრის სიჩქარეს, ხოლო სისტემის მოძრაობის რაოდენობა, რომელიც განსაზღვრულია ფორმულით (5.3), ახასიათებს მხოლოდ მის გადასატან პორტატულ მოძრაობას.

5.3. იმპულსური ძალა

გარკვეული დროის განმავლობაში ძალის მოქმედების დასახასიათებლად, სიდიდე ე.წ ძალის იმპულსი . ძალის ელემენტარული იმპულსი არის ძალის მოქმედების ვექტორული საზომი, რომელიც უდრის ძალის ნამრავლს მისი მოქმედების ელემენტარული დროის ინტერვალით:

. (5.4)

SI ძალის იმპულსის ერთეული არის
, ე.ი. ძალის იმპულსის და იმპულსის ზომები იგივეა.

აიძულეთ იმპულსი გარკვეული დროის განმავლობაში
უდრის ელემენტარული იმპულსის გარკვეულ ინტეგრალს:

. (5.5)

მუდმივი ძალის იმპულსი ტოლია ძალის ნამრავლისა და მისი მოქმედების დროს:

. (5.6)

ზოგადად, ძალის იმპულსი შეიძლება განისაზღვროს მისი პროგნოზით კოორდინატულ ღერძებზე:

. (5.7)

5.4. იმპულსის ცვლილების თეორემა

მატერიალური წერტილი

დინამიკის ძირითად განტოლებაში (1.2) მატერიალური წერტილის მასა არის მუდმივი სიდიდე, მისი აჩქარება.
, რაც შესაძლებელს ხდის ამ განტოლების დაწერას სახით:

. (5.8)

შედეგად მიღებული ურთიერთობა საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: მატერიალური წერტილის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის წერტილზე მოქმედი ძალების გეომეტრიულ ჯამს (მთავარ ვექტორს)..

ახლა ჩვენ ვიღებთ ამ თეორემის ინტეგრალურ ფორმას. (5.8) მიმართებიდან გამომდინარეობს, რომ

.

მოდით გავაერთიანოთ თანასწორობის ორივე მხარე დროის მომენტების შესაბამის საზღვრებში და ,

. (5.9)

მარჯვენა მხარეს ინტეგრალები წარმოადგენს წერტილზე მოქმედი ძალების იმპულსებს, ამიტომ მარცხენა მხარის ინტეგრირების შემდეგ ვიღებთ

. (5.10)

ამგვარად დამტკიცებულია თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური სახით: მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის წერტილზე მოქმედი ძალების იმპულსების გეომეტრიულ ჯამს დროის იმავე პერიოდში..

ვექტორული განტოლება (5.10) შეესაბამება სამი განტოლების სისტემას კოორდინატთა ღერძებზე პროექციებში:

;

; (5.11)

.

მაგალითი 1. სხეული გადაადგილებით მოძრაობს დახრილი სიბრტყის გასწვრივ, რომელიც ქმნის α კუთხეს ჰორიზონტთან. საწყის მომენტში მას ჰქონდა სიჩქარე , მიმართულია ზემოთ დახრილი სიბრტყის გასწვრივ (ნახ. 5.2).

რა დროის შემდეგ ხდება სხეულის სიჩქარე ნულის ტოლი თუ ხახუნის კოეფიციენტი ტოლია ვ ?

მატერიალურ წერტილად ავიღოთ მთარგმნელობით მოძრავი სხეული და განვიხილოთ მასზე მოქმედი ძალები. ეს არის გრავიტაცია
ნორმალური თვითმფრინავის რეაქცია და ხახუნის ძალა . მივმართოთ ღერძი xდახრილი სიბრტყის გასწვრივ ზემოთ და ჩაწერეთ სისტემის 1-ლი განტოლება (5.11)

სადაც არის მოძრაობის რაოდენობების პროგნოზები და არის მუდმივი ძალების იმპულსების პროექცია
,და უდრის ძალების პროგნოზირების ნამრავლებს და მოძრაობის დროს:

ვინაიდან სხეულის აჩქარება მიმართულია დახრილი სიბრტყის გასწვრივ, პროექციების ჯამი ღერძზე წსხეულზე მოქმედი ყველა ძალის ტოლია ნულის:
, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ
. ვიპოვოთ ხახუნის ძალა

და (5.12) განტოლებიდან ვიღებთ

საიდანაც განვსაზღვრავთ სხეულის მოძრაობის დროს

.

Მაგალითად:

1. დაადგინეთ მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა:

იმიტომ რომ (მასის ცენტრი არ მოძრაობს).

ბ) თეორემა იმპულსის ცვლილების შესახებ (დიფერენციალური ფორმა).

გამოვიტანოთ იგი მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემიდან.

ამისთვის ν - ამ მატერიალური წერტილის ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით:

იმიტომ რომ. მასა მუდმივია, მაშინ ის შეიძლება შევიდეს წარმოებული ნიშნის ქვეშ. ჩვენ ვიღებთ:

ყველა მატერიალური პუნქტის შეჯამებით მივიღებთ:

გავითვალისწინოთ, რომ მექანიკური სისტემის ყველა შინაგანი ძალის ჯამი ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვითაა.

ჩვენ ვიღებთ თეორემას დიფერენციალური ფორმით მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ:

ფორმულირება:მექანიკური სისტემის იმპულსის პირველი წარმოებული ტოლია სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ვექტორული ჯამის, ე.ი. მექანიკური სისტემის ყველა გარე ძალის მთავარი ვექტორის ტოლია.

ეს ფორმულები მათემატიკურად აჩვენებს, რომ მხოლოდ გარეგანი ძალები გავლენას ახდენენ მასის ცენტრის მოძრაობაზე და მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილება არ შეუძლია შეცვალოს იმპულსი ან მასის ცენტრის მოძრაობა.

V) იმპულსის ცვალებადობის თეორემის იმპულსის თეორემა (სრული ფორმა).

განმარტება:

1) ძალის ელემენტარული იმპულსი არის ამ ძალისა და დროის დიფერენციალური პროდუქტი:

2) ძალის იმპულსს დროის ნებისმიერ მონაკვეთზე ეწოდება ფორმის ინტეგრალი:

იმპულსის თეორემა:მომდინარეობს იმპულსის ცვლილების თეორემიდან.

ცვლადების გამოყოფისას მივიღებთ:

მოდით ინტეგრირება:

იმის გათვალისწინებით, რომ განტოლების მარჯვენა მხარე არის ყველა გარეგანი ძალის იმპულსების ჯამი, მივიღებთ:

ფორმულირება:იმპულსის ცვლილება დროის ნებისმიერ მონაკვეთში უდრის ყველა გარე ძალების იმპულსების ვექტორულ ჯამს, რომლებიც გამოიყენება სისტემაზე დროის ამ პერიოდში.

ეს ფორმულა ნიშნავს, რომ ძალის იმპულსი და იმპულსი იზომება იმავე ერთეულებში.

; , რის გამოც იმპულსს ახლა იმპულსი ეწოდება.

გ) იმპულსის შენარჩუნების კანონი:

1) თუ, , მაშინ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ: , .

ფორმულირება:თუ სისტემის ყველა გარე ძალების ვექტორული ჯამი არის ნულოვანი, მაშინ სისტემის მოძრაობის სიდიდე მუდმივი რჩება სიდიდისა და მიმართულებით.

2) თუ, , მაშინ , .

ფორმულირება:თუ სისტემის ყველა გარე ძალების პროგნოზების ალგებრული ჯამი რომელიმე ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ იმპულსის პროექცია ამ ღერძზე მუდმივი რჩება.

4. მატერიალური წერტილისა და მექანიკური სისტემის დინამიკის ზოგადი თეორემები. თეორემა კინეტიკური იმპულსის ცვლილების შესახებ

დაფარული საკითხები:

ზოგადი თეორემები მექანიკური სისტემის დინამიკის შესახებ. თეორემა კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ. მატერიალური წერტილის იმპულსის იმპულსი პოლუსთან მიმართებაში: ალგებრული მნიშვნელობა, ვექტორის მიმართულება. მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტი ღერძის მიმართ. იმპულსის იმპულსი წარმოშობის შესახებ. მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი წერტილისა და ღერძის მიმართ. მბრუნავი სხეულის კინეტიკური მომენტი ბრუნვის ღერძის გარშემო. თეორემა კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ. კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი.

4.1 მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტი ცენტრთან (წერტილი, პოლუსი) მიმართ.

ა) განმარტება:მატერიალური წერტილის კუთხურ იმპულსს რომელიმე ცენტრთან მიმართებაში ეწოდება ამ წერტილის რადიუსის - ვექტორის ნამრავლი და მისი იმპულსი.

ბ) მიმართულება:მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი მიმართულია წერტილის მოძრაობის ტრაექტორიის სიბრტყის პერპენდიკულურად ისე, რომ ვექტორული ბრუნვის ბოლოდან ჩანს სიჩქარის მიმართულება მომენტის წერტილთან მიმართებაში საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

V) წერტილის კუთხური იმპულსის ალგებრული მნიშვნელობა.

მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის მოდული:

ალგებრული მნიშვნელობა არის მატერიალური წერტილისა და მკლავის იმპულსის ნამრავლი, აღებული პლუს ან მინუს ნიშნით.

ბრუნვის მნიშვნელობა დადებითია, თუ ის მიმართულია ბრუნვის წერტილის მიმართ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

ბრუნვის მნიშვნელობა უარყოფითია, თუ ის მიმართულია საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვის წერტილის მიმართ.

ბრუნვის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, თუ ბრუნვის წერტილი დევს სიჩქარის ხაზზე.

4.2 იმპულსის მომენტი ღერძის გარშემო.

ა) განმარტება:ღერძის მიმართ წერტილის კუთხური იმპულსი არის ვექტორული კუთხური იმპულსის ამ ღერძზე პროექცია, რომელიც გამოითვლება ამ ღერძზე მდებარე ნებისმიერ წერტილთან მიმართებაში.

ალგებრული მნიშვნელობა მსგავსია:

კუთხური იმპულსის მნიშვნელობა დადებითია, თუ ის მიმართულია საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, როცა ათვალიერებთ დადებითი ღერძის მიმართულებიდან.

კუთხური იმპულსის მნიშვნელობა უარყოფითია, თუ ის მიმართულია საათის ისრის მიმართულებით, როცა ღერძის დადებითი მიმართულებიდან ჩანს.

კუთხური იმპულსის მნიშვნელობა ნულია, თუ სიჩქარე მიმართულია ღერძის პარალელურად ან კვეთს ამ ღერძს.

პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე:

4.3 მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ბოძთან და ღერძთან შედარებით.

ა) მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ბოძთან შედარებით.

მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ცენტრთან მიმართებაში (პოლუსი, წერტილი) არის სისტემის ყველა წერტილის იმპულსის მომენტების ვექტორული ჯამი იმავე ცენტრთან მიმართებაში:

ბ) მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ღერძის მიმართ:

მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ღერძთან მიმართებაში არის მისი ყველა წერტილის კუთხური იმპულსის ალგებრული ჯამი იმავე ღერძთან მიმართებაში:

მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ღერძთან შედარებით ზ:

ამრიგად, მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი არის სისტემის იმპულსის მთავარი მომენტი.

4.4 მბრუნავი სხეულის კინეტიკური მომენტი ბრუნვის ღერძის გარშემო.

მოდით განვიხილოთ რევოლუციის ორგანო. განვიხილოთ მატერიალური წერტილის მოძრაობა, რომლის მასა არის m νდა ხაზოვანი სიჩქარე.

ბოძთან მიმართებაში კუთხური იმპულსის განმარტებით:

კინეტიკური მომენტი მიმართულია რადიუსის ვექტორის პერპენდიკულურად ().

ღერძზე კინეტიკური მომენტის დაპროექტების შემდეგ მივიღებთ:

იმის გათვალისწინებით, რომ ბრუნვის დროს წრფივი სიჩქარე განისაზღვრება ეილერის ფორმულით, მივიღებთ:

წერტილის სიჩქარის მოდული ბრუნვის დროს:

სადაც , сos (90 0 - ) = ცოდვა

(98) ჩანაცვლებით (96) ფორმულაში მივიღებთ:

ბრუნვის ღერძის მიმართ კინეტიკური მომენტი განისაზღვრება ფორმულით:

4.5 თეორემის გამოყვანა კუთხური იმპულსის ცვლილებაზე.

ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით ν - ეს წერტილი:

ტოლობის ორივე გვერდის ვამრავლით ვამრავლით, ვექტორზე , მივიღებთ:

მოდით გარდავქმნათ:

შეჯამება მიერ ν იმათ. მექანიკური სისტემის ყველა მატერიალური წერტილისთვის ვიღებთ:

მარცხნივ, ჯამის ნიშნის ქვეშ, ვიღებთ მექანიკური სისტემის კუთხურ იმპულსს O პოლუსთან მიმართებაში:

მარჯვნივ, ჯამის ნიშნის ქვეშ, ვიღებთ მექანიკური სისტემის ყველა გარე და შინაგანი ძალების მომენტების ჯამს O პოლუსთან მიმართებაში:

ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით, ყველა შინაგანი ძალების მომენტების ჯამი პოლუსთან O უდრის ნულის,

შემდეგ მივიღებთ თეორემას ფორმაში:

ფორმულირება:კუთხური იმპულსის პირველი წარმოებული დროის მიმართ, ნებისმიერ ცენტრთან მიმართებაში, უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების მომენტების ვექტორულ ჯამს იმავე ცენტრთან მიმართებაში.

თეორემა ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ:

ფორმულირება:ნებისმიერი ღერძის მიმართ კინეტიკური მომენტის პირველი წარმოებული ტოლია სისტემის ყველა გარე ძალების მომენტების ალგებრული ჯამის იმავე ღერძის მიმართ.

კინეტიკური მომენტი ხისტი სხეულისთვის ბრუნვის ღერძის მიმართ:

.

2) თუ, მაშინ.

ფორმულირება: თუ სისტემის ყველა გარე ძალების მომენტების ალგებრული ჯამი რომელიმე ღერძთან მიმართებაში ნულის ტოლია, მაშინ ამ ღერძის მიმართ კინეტიკური მომენტი მუდმივი რჩება.

Მაგალითად:

როდესაც მოციგურავე ბრუნავს ყინულზე, ყველაფერი აქტიური ძალებიღერძის პარალელურად ზ, რაც ნიშნავს, რომ კინეტიკური მომენტი ღერძის გარშემო ზნულის ტოლი.

კუთხური სიჩქარის გასაზრდელად, მოციგურავე აჭერს ხელებს სხეულზე, რითაც ამცირებს სხეულის ინერციის მომენტს ბრუნვის ღერძთან შედარებით.

კუთხური სიჩქარის შესამცირებლად, მოციგურავე ხელებს გვერდებზე ათავსებს, რითაც ზრდის სხეულის ინერციის მომენტს ბრუნვის ღერძთან შედარებით.

5. მატერიალური წერტილის დინამიკის ზოგადი თეორემები და

ისევე, როგორც ერთი მატერიალური წერტილისთვის, ჩვენ გამოვიყვანთ თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ სხვადასხვა ფორმით.

გადავცვალოთ განტოლება (თეორემა მექანიკური სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ)

შემდეგი გზით:

;

მიღებული განტოლება გამოხატავს თეორემას მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: მექანიკური სისტემის იმპულსის წარმოებული დროის მიმართ უდრის სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების მთავარ ვექტორს. .

პროექციებში დეკარტის კოორდინატთა ღერძებზე:

; ; .

ბოლო განტოლების ორივე მხარის ინტეგრალების დროთა განმავლობაში მივიღებთ თეორემას მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური სახით: მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილება უდრის მთავარი ვექტორის იმპულსს. სისტემაზე მოქმედი გარე ძალები .

.

ან პროექციებში დეკარტის კოორდინატთა ღერძებზე:

; ; .

დასკვნა თეორემიდან (იმპულსის შენარჩუნების კანონები)

იმპულსის შენარჩუნების კანონი მიიღება როგორც თეორემის სპეციალური შემთხვევები სისტემისთვის იმპულსის ცვლილების შესახებ, რომელიც დამოკიდებულია გარე ძალების სისტემის მახასიათებლებზე. შინაგანი ძალები შეიძლება იყოს ნებისმიერი, რადგან ისინი გავლენას არ ახდენენ იმპულსის ცვლილებებზე.

არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა:

1. თუ სისტემაზე მიმართული ყველა გარე ძალების ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის მოძრაობის რაოდენობა სიდიდითა და მიმართულებით მუდმივია.

2. თუ გარე ძალების ძირითადი ვექტორის პროექცია რომელიმე კოორდინატულ ღერძზე ან/და ან/და ნულის ტოლია, მაშინ იმპულსის პროექცია ამ იმავე ღერძებზე არის მუდმივი მნიშვნელობა, ე.ი. და/ან და/ან შესაბამისად.

მსგავსი ჩანაწერები შეიძლება გაკეთდეს მატერიალური წერტილისთვის და მატერიალური წერტილისთვის.

Ამოცანა. იარაღიდან, რომლის მასა მ, მასის ჭურვი ჰორიზონტალური მიმართულებით მიფრინავს მსისწრაფით ვ. იპოვნეთ სიჩქარე ვიარაღი სროლის შემდეგ.

გამოსავალი. ყველა გარე ძალა, რომელიც მოქმედებს მექანიკურ იარაღ-ჭურვის სისტემაზე, ვერტიკალურია. ეს ნიშნავს, რომ სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემის დასკვნის საფუძველზე გვაქვს: .

მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა გასროლამდე:

გასროლის შემდეგ მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა:

.

გამონათქვამების მარჯვენა მხარეების გათანაბრება, მივიღებთ ამას

.

მიღებულ ფორმულაში ნიშანი „-“ მიუთითებს, რომ სროლის შემდეგ იარაღი უკან დაიხევს ღერძის საწინააღმდეგო მიმართულებით. ოქსი.

მაგალითი 2. სიმკვრივის მქონე სითხის ნაკადი მიედინება V სიჩქარით F კვეთის ფართობის მქონე მილიდან და კუთხით ურტყამს ვერტიკალურ კედელს. განსაზღვრეთ სითხის წნევა კედელზე.

გადაწყვეტა. მოდით გამოვიყენოთ თეორემა ინტეგრალური სახით იმპულსის ცვლილების შესახებ მასის მქონე სითხის მოცულობაზე მკედელს ურტყამს გარკვეული დროის განმავლობაში ტ.

მეშჩერსკის განტოლება

(ცვლადი მასის სხეულის დინამიკის ძირითადი განტოლება)

თანამედროვე ტექნოლოგიაში წარმოიქმნება შემთხვევები, როდესაც წერტილისა და სისტემის მასა მოძრაობისას არ რჩება მუდმივი, არამედ იცვლება. ასე, მაგალითად, კოსმოსური რაკეტების ფრენისას, წვის პროდუქტებისა და რაკეტების ცალკეული არასაჭირო ნაწილების გამოდევნის გამო, მასის ცვლილება მთლიანი საწყისი მნიშვნელობის 90-95%-ს აღწევს. მაგრამ არა მხოლოდ კოსმოსური ტექნოლოგია შეიძლება იყოს ცვლადი მასის მოძრაობის დინამიკის მაგალითი. ტექსტილის ინდუსტრიაში მნიშვნელოვანი ცვლილებებია სხვადასხვა შტრიხების, ბობინების და რულონების მასაში მანქანებისა და მანქანების თანამედროვე ოპერაციული სიჩქარით.

განვიხილოთ ძირითადი მახასიათებლები, რომლებიც დაკავშირებულია მასის ცვლილებებთან, ცვლადი მასის სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობის მაგალითის გამოყენებით. დინამიკის ძირითადი კანონი არ შეიძლება პირდაპირ იქნას გამოყენებული ცვლადი მასის სხეულზე. ამრიგად, ვიღებთ ცვლადი მასის წერტილის მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს სისტემის იმპულსის ცვლილებაზე თეორემის გამოყენებით.

დაე, წერტილი ჰქონდეს მასას მ+დმმოძრაობს სიჩქარით. შემდეგ მასის მქონე გარკვეული ნაწილაკი გამოყოფილია წერტილიდან დმსიჩქარით მოძრაობს.

სხეულის მოძრაობის ოდენობა ნაწილაკების ამოღებამდე:

სხეულისა და განცალკევებული ნაწილაკისგან შემდგარი სისტემის მოძრაობის რაოდენობა მისი გამოყოფის შემდეგ:

შემდეგ იმპულსის ცვლილება:

სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემაზე დაყრდნობით:

ავღნიშნოთ რაოდენობა - ნაწილაკების ფარდობითი სიჩქარე:

აღვნიშნოთ

ზომა რრეაქტიული ძალა ეწოდება. რეაქტიული ძალა არის ძრავის ბიძგი, რომელიც გამოწვეულია საქშენიდან გაზის გამოდევნით.

ბოლოს მივიღებთ

-

ეს ფორმულა გამოხატავს ცვლადი მასის სხეულის დინამიკის ძირითად განტოლებას (მეშჩერსკის ფორმულა). ბოლო ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ცვლადი მასის წერტილის მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს აქვთ იგივე ფორმა, როგორც მუდმივი მასის წერტილისთვის, გარდა იმ დამატებითი რეაქტიული ძალისა, რომელიც გამოიყენება წერტილზე მასის ცვლილების გამო.

ცვლადი მასის სხეულის დინამიკის ძირითადი განტოლება მიუთითებს იმაზე, რომ ამ სხეულის აჩქარება წარმოიქმნება არა მხოლოდ გარე ძალების, არამედ რეაქტიული ძალის გამო.

რეაქტიული ძალა არის ისეთივე ძალა, როგორიც ისვრება - პისტოლეტიდან სროლისას ის იგრძნობა ხელით; თოფიდან სროლისას ის აღიქმება მხრით.

ციოლკოვსკის პირველი ფორმულა (ერთსაფეხურიანი რაკეტისთვის)

მოდით, ცვლადი მასის წერტილი ან რაკეტა მოძრაობდეს სწორი ხაზით მხოლოდ ერთი რეაქტიული ძალის გავლენის ქვეშ. ვინაიდან მრავალი თანამედროვე რეაქტიული ძრავისთვის , სად არის ძრავის დიზაინით დაშვებული მაქსიმალური რეაქტიული ძალა (ძრავის ბიძგი); - დედამიწის ზედაპირზე მდებარე ძრავზე მოქმედი სიმძიმის ძალა. იმათ. ზემოაღნიშნული საშუალებას გვაძლევს უგულებელვყოთ კომპონენტი მეშჩერსკის განტოლებაში და მივიღოთ ეს განტოლება შემდგომი ანალიზისთვის:

აღვნიშნოთ:

საწვავის რეზერვი (თხევადი რეაქტიული ძრავები- რაკეტის მშრალი მასა (მისი დარჩენილი მასა მთელი საწვავის დაწვის შემდეგ);

რაკეტისგან გამოყოფილი ნაწილაკების მასა; განიხილება, როგორც ცვლადი მნიშვნელობა, რომელიც მერყეობს .

დავწეროთ ცვლადი მასის წერტილის მართკუთხა მოძრაობის განტოლება შემდეგი სახით:

.

ვინაიდან რაკეტის ცვლადი მასის განსაზღვრის ფორმულა არის

მაშასადამე, წერტილის მოძრაობის განტოლებები ორივე მხარის ინტეგრალის აღებით ვიღებთ

სად - დამახასიათებელი სიჩქარე- ეს არის სიჩქარე, რომელსაც რაკეტა იძენს ბიძგის გავლენის ქვეშ, რაკეტიდან ყველა ნაწილაკის ამოფრქვევის შემდეგ (თხევადი რეაქტიული ძრავებისთვის - მას შემდეგ, რაც საწვავი მთლიანად დაიწვება).

ინტეგრალური ნიშნის მიღმა (რომელიც შეიძლება გაკეთდეს უმაღლესი მათემატიკიდან ცნობილი საშუალო მნიშვნელობის თეორემის საფუძველზე) არის რაკეტიდან გამოდევნილი ნაწილაკების საშუალო სიჩქარე.

სისტემის მოძრაობის სიდიდე, როგორც ვექტორული სიდიდე, განისაზღვრება ფორმულებით (4.12) და (4.13).

თეორემა. სისტემის იმპულსის წარმოებული დროის მიმართ უდრის მასზე მოქმედი ყველა გარე ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

დეკარტის ღერძების პროგნოზებში ვიღებთ სკალარული განტოლებებს.

შეგიძლიათ დაწეროთ ვექტორი

(4.28)

და სკალარული განტოლებები

რომლებიც გამოხატავს თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური ფორმით: სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის იმპულსების ჯამს დროის იმავე მონაკვეთში. ამოცანების ამოხსნისას უფრო ხშირად გამოიყენება განტოლებები (4.27).

იმპულსის შენარჩუნების კანონი

თეორემა კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

თეორემა ცენტრთან მიმართებაში წერტილის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ: წერტილის კუთხური იმპულსის დროითი წარმოებული ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის ვექტორულ მომენტს.

ან (4.30)

(4.23) და (4.30) შევადარებთ, ვხედავთ, რომ და ვექტორების მომენტები დაკავშირებულია იმავე დამოკიდებულებით, როგორც ვექტორები და თავად ისინი დაკავშირებულია (ნახ. 4.1). თუ ტოლობას გავაპროექტებთ O ცენტრის გამავალ ღერძზე, მივიღებთ

(4.31)

ეს ტოლობა გამოხატავს წერტილის კუთხური იმპულსის თეორემას ღერძის მიმართ.

ბრინჯი. 4.1.

თეორემა მექანიკური სისტემის ძირითადი კუთხური იმპულსის ან კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ ცენტრთან მიმართებაში: სისტემის კინეტიკური კუთხური იმპულსის დროის წარმოებული რომელიმე ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში უდრის ყველა გარე ძალების მომენტების ჯამს. იმავე ცენტრთან შედარებით.

(4.32)

თუ გამოვხატავთ გამოხატულებას (4.32) O ცენტრის გამავალ ღერძზე, მივიღებთ ტოლობას, რომელიც ახასიათებს თეორემას ღერძთან მიმართებაში კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ.

(4.33)

(4.10) ტოლობით (4.33) ჩანაცვლებით შეგვიძლია დავწეროთ დიფერენციალური განტოლებამბრუნავი მყარი სხეული (ბორბლები, ღერძები, ლილვები, როტორები და ა.შ.) სამი ფორმით.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

ამგვარად, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ თეორემა კინეტიკური იმპულსის ცვლილების შესახებ ხისტი სხეულის მოძრაობის შესასწავლად, რაც ძალიან გავრცელებულია ტექნოლოგიაში, მისი ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

სისტემის კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი

1. გამოვხატოთ (4.32) .

შემდეგ (4.32) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ე.ი. თუ სისტემაზე მიმართული ყველა გარე ძალების მომენტების ჯამი მოცემულ ცენტრთან მიმართებაში ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის კინეტიკური მომენტი ამ ცენტრთან მიმართებაში იქნება რიცხვითი და მიმართულების მუდმივი.

2. თუ , მაშინ . ამრიგად, თუ სისტემაზე გარკვეული ღერძის მიმართ მოქმედი გარე ძალების მომენტების ჯამი ნულია, მაშინ სისტემის კინეტიკური მომენტი ამ ღერძის მიმართ იქნება მუდმივი მნიშვნელობა.

ეს შედეგები გამოხატავს კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონს.

მბრუნავი ხისტი სხეულის შემთხვევაში, ტოლობიდან (4.34) გამომდინარეობს, რომ თუ , მაშინ . აქედან მივდივართ შემდეგ დასკვნამდე:

თუ სისტემა უცვლელია (აბსოლუტურად ხისტი სხეული), მაშინ, შესაბამისად, ხისტი სხეული მუდმივი კუთხოვანი სიჩქარით ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

თუ სისტემა ცვალებადია, მაშინ . ზრდასთან ერთად (შემდეგ სისტემის ცალკეული ელემენტები შორდებიან ბრუნვის ღერძს), კუთხური სიჩქარე მცირდება, რადგან , ხოლო კლებისას იზრდება, ამდენად, ცვლადი სისტემის შემთხვევაში, შინაგანი ძალების დახმარებით შესაძლებელია კუთხური სიჩქარის შეცვლა.

ტესტის მეორე ამოცანა D2 ეთმობა თეორემას სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ ღერძთან მიმართებაში.

პრობლემა D2

ერთგვაროვანი ჰორიზონტალური პლატფორმა (მრგვალი R რადიუსით ან მართკუთხა R და 2R გვერდებით, სადაც R = 1,2 მ) კგ მასით ბრუნავს კუთხური სიჩქარით ვერტიკალური ღერძის გარშემო z, დაშორებული პლატფორმის C მასის ცენტრიდან მანძილი OC = b (ნახ. E2.0 – D2.9, ცხრილი D2); ყველა მართკუთხა პლატფორმის ზომები ნაჩვენებია ნახ. D2.0a (ზედა ხედი).

დროის მომენტში, კგ მასის მქონე დატვირთვა D იწყებს მოძრაობას პლატფორმის ჭალის გასწვრივ (შიდა ძალების გავლენით) კანონის მიხედვით, სადაც s გამოიხატება მეტრებში, t - წამებში. ამავდროულად, ძალების წყვილი M მომენტით (მითითებულია ნიუტონომეტრებში; M-ზე< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

განსაზღვრეთ ლილვის მასის უგულებელყოფით, დამოკიდებულების ე.ი. პლატფორმის კუთხური სიჩქარე დროის მიხედვით.

ყველა ფიგურაში, დატვირთვა D ნაჩვენებია ისეთ მდგომარეობაში, რომელშიც s > 0 (როდესაც s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

მიმართულებები.ამოცანა D2 – თეორემის გამოყენება სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილებაზე. თეორემის გამოყენებისას სისტემაზე, რომელიც შედგება პლატფორმისა და დატვირთვისგან, სისტემის კუთხური იმპულსი z ღერძთან მიმართებაში განისაზღვრება, როგორც პლატფორმისა და დატვირთვის მომენტების ჯამი. გასათვალისწინებელია, რომ დატვირთვის აბსოლუტური სიჩქარე არის ფარდობითი და გადასატანი სიჩქარის ჯამი, ე.ი. . აქედან გამომდინარე, ამ დატვირთვის მოძრაობის რაოდენობა . შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ვარინიონის თეორემა (სტატიკა), რომლის მიხედვითაც; ეს მომენტები გამოითვლება ისევე, როგორც ძალების მომენტები. გამოსავალი უფრო დეტალურად არის ახსნილი მაგალითში D2.

პრობლემის გადაჭრისას სასარგებლოა დამხმარე ნახატზე გამოსახოთ პლატფორმის ხედი ზემოდან (ზ ბოლოდან), როგორც ეს კეთდება ნახ. D2.0, a – D2.9, a.

m მასის მქონე ფირფიტის ინერციის მომენტი Cz ღერძის მიმართ, ფირფიტაზე პერპენდიკულარული და გადის მის მასის ცენტრში, ტოლია: მართკუთხა ფირფიტისთვის გვერდებით და

;

R რადიუსის მრგვალი ფირფიტისთვის

მდგომარეობის ნომერი	ბ	s = F(t)	მ
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	ბრინჯი. D2.0		ბრინჯი. D2.0a

	ბრინჯი. D2.1		ბრინჯი. D2.1a

	ბრინჯი. D2.2		ბრინჯი. D2.2a

	ბრინჯი. D2.3		ბრინჯი. D2.3a

	ბრინჯი. D2.4
		ბრინჯი. D2.4a

		ბრინჯი. D2.5a
	ბრინჯი. D2.5

	ბრინჯი. D2.6		ბრინჯი. D2.6a

	ბრინჯი. D2.7		ბრინჯი. D2.7a

	ბრინჯი. D2.8		ბრინჯი. D2.8a

	ბრინჯი. D2.9		ბრინჯი. D2.9a

	ბრინჯი. D 2

მაგალითი D2. ერთგვაროვანი ჰორიზონტალური პლატფორმა (მართკუთხა გვერდებით 2ლ და ლ), რომელსაც აქვს მასა, მტკიცედ არის მიმაგრებული ვერტიკალურ ლილვზე და მასთან ერთად ბრუნავს ღერძის გარშემო. ზკუთხური სიჩქარით (ნახ. D2a ). დროის მომენტში, ბრუნი M იწყებს მოქმედებას ლილვზე, საპირისპიროდ მიმართული ; ერთდროულად ტვირთი დთხრილში მდებარე მასა ABწერტილში თან,იწყებს მოძრაობას ჭურვის გასწვრივ (შინაგანი ძალების გავლენით) კანონის მიხედვით s = CD = F(t).

მოცემული: მ 1 = 16 კგ, t 2= 10 კგ, ლ= 0.5 მ, = 2, s = 0.4t 2 (s - მეტრებში, t - წამებში), მ= kt,სად კ=6 ნმ/წმ. განსაზღვრეთ: - პლატფორმის კუთხური სიჩქარის ცვლილების კანონი.

გამოსავალი.განვიხილოთ მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება პლატფორმისა და დატვირთვისგან დ. w-ის დასადგენად გამოვიყენებთ თეორემას სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილებაზე ღერძთან მიმართებაში. z:

(1)

გამოვსახოთ სისტემაზე მოქმედი გარე ძალები: რეაქციის გრავიტაციული ძალა და ბრუნი M. ვინაიდან ძალები და პარალელურია z ღერძისა და რეაქციები კვეთენ ამ ღერძს, მათი მომენტები z ღერძთან შედარებით უდრის. ნული. შემდეგ, იმ მომენტისთვის დადებითი მიმართულების გათვალისწინებით (ე.ი. საათის ისრის საწინააღმდეგოდ), ვიღებთ და განტოლება (1) მიიღებს ამ ფორმას.